APPLICATION AUX FONCTIONS ENTIÈRES

2. Supposons que f(x) soit une fonction entière du degré m; alors fm(x) est une constante A, et l'on a tout d'abord

d'où l'on tire successivement, en appliquant la formule (1),

S/~V)==AAV B^ B^ J v ' 1.2.3 1.2 1

\h*n* B.//,/73 Khn* B./?

s/— (*) = -fiH-i + V^hr +

et enfin

--, . Ahmn"+t Bl//m-,/?,n

B, *-V- B„, An* B ... *

B,a B„ . . ., Bm sont des constantes dont les valeurs se détermineront successivement, à chaque intégration, en faisant n = 1.

Stubm. — An. t II. 25

3. On trouvera très-facilement par ce moyen les sommes des puissances des n premiers nombres. En désignant ces sommes par S0 . S, , S2 ,. . . , on aura, en général ,

(II) S^JfijfV-.di + c/i;

on a d'abord

S. = ", et en intégrant,

Pour déterminer r, on fera n = ï , ce qui réduit le premier membre à ï : on aura donc ï = - + c , d'où c = - > et

On aura de la même manière

S2 = T + T + ^=y + -^ gi

et ainsi de suite.

On voit que la formule (II) présente un grand avantage sur la formule du n° 743 qui fait dépendre chaque somme de toutes les sommes d'un indice moindre. En partant de la valeur de S4I donnée au numéro cité , on trouvera facilement

ri'

nz n

7îa

in*

Ml