Soient

j=S/(j:) =i + e + e2 + ^-f-...-f-tf»-'la formule (I) donnera, en remarquant que/'(.r) == e* -- j,

équation dont l'intégrale est

y=. c'e" — ct

388 cours d'ahalyse.

Les constantes se déterminent en faisant n — o, n = i , ce qui donne

d'où l'on tire c = c' = • > et, par conséquent,

i-h<?-ht»a-h...4-tf""I =

e — i formule connue.

6. Comme dernière application, nous allons faire voir comment on peut, par le moyen de la formule (I), ramener à une question de calcul intégral ordinaire la sommation d'une classe très-étendue de fonctions transcendantes.

i° Soient

iï étant la dérivée de u. La formule (1) donne immédiatement

équation différentielle du premier ordre qui ramène Sac** à SaV". Si donc a est une fonction algébrique et entière de x , alors y dépendra, en dernière analyse, d'une équation de la forme

dn- = az + c>

qui s'intègre immédiatement.

2° Soient

y = Sa sin&r, z = Sa cosfor,

yx = Sa'sin&r, *, = Sa'cos&r; on aura, en différentiant deux fois de suite,

= b*y 4- bz+yx + cr

Cette seconde équation, linéaire et du second ordre, ramène donc S usiner à Sa'sin&r et à Sa'cos&r. On pourra donc trouver Su sinkr, par une suite de semblables réductions, quand u sera une fonction de x algébrique et entière.

3° Soient

y = Sue41* sin&r, z = Sue0S cos&r,

yx = SaV*sin&r, zx = SaVcos&r;

on aura

-jL^y + bz + ay+c,

d* y dr

— ^/^bfa + by-t-uz + c^ + a^

l'élimination de z entre ces deux équations donnera une équation du second ordre et fera dépendre y de yx et de z,. Il sera donc possible d'obtenir les intégrales demandées quand u sera une fonction algébrique et entière.

Si maintenant on se rappelle que les puissances de sinbx et do cosbx peuvent s'exprimer en sommes de sinus ou de cosinus des multiples de bx , on conclura des trois cas que nous venons d'examiner la possibilité d'obtenir

S/t-r, sin&r, cos&r, ***),

lorsque la fonction / sera algébrique et entière.