L'équation linéaire, en posant y= e^udxy prend la forme

(III) ^^-h...+ («m + P«m-|4-Q«,"-8-4-...-4-U)-o.

Quand une valeur u = r, indépendante de x, annule le polynôme iT -4- Pam-1 ■+■ Q«"~* + . . . 4- U = f(u ) Téquation (II) est satisfaite par y= ce**.

582. Équations linéaires a coefficients constants. — L'équation /(«) = o n'admet que des racines constantes r. ,/•,,.. ., rm. En les supposant toutes différentes, l'intégrale générale sera

y = cteri* -\-c2er2* + .. .-\-cmcr™*.

583 et 584. Cas des racines imaginaires inégales. — Lorsque l'équation

/(r) = rm 4- Pr"-1 +. . .-h Tr -f- U = o

a des racines imaginaires,

on a

c(tfri*-hc,<rraJ? = (Acos6j:-f-Bsin6x)tf«*.

585 à 591. Cas des racines égales. — Lorsque l'équation r* -f- P/-—1 -f- Qr*-* + . . .-h Tr-h U = o

a des racines égales, supposons rs = r„ on aura

jr= fri'(c + c'a') + Cler** +. . .-{- cmerm*.

Quand trois racines sont égales,

y = eri* (c + c'x + c'x*) + c4er** + . . .+ cmer>**.

Si la racine r, était quadruple, il faudrait remplacer les termes qui s'y rapportent par

er\*[c -+- c'x -+- r V 4- c^-r3 ).

INTÉGRATION DE i/ÉQUATION LINÉAIRE COMPLÈTE.

592. RÉDUCTION DE L* ÉQUATION COMPLÈTE A L'ÉQUATION PRIVÉE DE SECOND MEMBRE. — Soit

(I) 0 + p£^4-...+ Tj + Ur = F(x).

Posons

z étant une fonction de x et de a tellement choisie, que s, -y >

-1-2 > • • • ? -73ÏZÏ soient nulles pour a = x, et que Ton ait pour cette même valeur

dm"xz

4û8 TABLE ANALYTIQUE

En posant y = «-+-«>, l'équation (I) se réduit à

dmv dm~* o do

Et, si l'on peut intégrer généralement cette équation, u-\-v sera l'intégrale de l'équation (I).

593. Cas ou les coefficients de l'équation (II) sont constants. — En désignant par r(, r„ rs, . . , rm les racines de l'équation

/(r) = rm -4- Pr— ! -+-. . .-+- Tr + U = o,

on aura

r«*U, -f- f <?-ri«F(a)e/a rra* ra-f f e-ra*F(a)rfa

r-xU.+jTVr-*F(a)rfal

flrj

594 à 600. Cas ou l'on connaît un certain nombre d'intégrales de l'équation privée du second MEMBRE. — Si Von connaît n intégrales distinctes de l'équation linéaire privée de second membre, on pourra ramener Véquatiou complète à une équation linéaire du [m — n)Ctmê ordre.

On pourra donc abaisser l'ordre de l'équation (I) d'autant d'unités qu'on connaîtra de solutions particulières de l'équation (U), et l'intégrale générale de l'équation (I) sera de la forme

X = °Xi + ht ■+•• • • + (r„ 4- *.

I étant une solution quelconque de l'équation (I). L'équation linéaire n'admet pas de solution singulière.

601 à 607. De quelques cas ou l'on peut intégrer l'équation