Application : équation du second ordre

— — = CLJT^Z

dx> '

à laquelle se réduit l'équation dite de Riccati

dx^° '

en posant

^ i dz

J z dx

618 à 621. Intégration d'une équation différentielle a l'aide d'intégrales défîmes.

d}y m dr , ,

COS ( lix y/a COS a ) sin1""1 a da , yt = A'xl-m I cos (/ix y/à cos a ) sin1""1 arfa.

équations différentielles simultanées.

622. Élimination d'une variable entre deux équations différentielles.

./ dr dmy dz d'z\

On différentiera n fois la première équation, et m fois la seconde ; on aura ainsi m -h n -f- a équations entre lesquelles il sera possible d'éliminer par les moyens ordinaires de l'algèbre les/w 4- n 4-1 incon-

nues /, -^> -y^y? • • • > -7-^T' L'équation finale sera, en général,

d'un ordre égal au plus grand des deux nombres « + />, m + q.

623. Plus généralement, si Ton avait r équations différentielles contenant une variable indépendante x et r fonctions/, z, a, . . . de cette variable, on éliminerait/ entre ces r équations, ce qui donnerait r — i équations entre z, «,.... On éliminerait ensuite z entre ces r — 1 équations, et ainsi de suite. On arriverait ainsi à une équation différentielle ne renfermant plus qu'une seule des fonctions inconnues.

624 et 625. Systèmes d'équations du premier ordre équivalents À UNE OU PLUSIEURS ÉQUATIONS D'UN ORDRE QUELCONQUE.

626. Théorèmes sur les intégrales des équations simultanées du premier ordre. — Trois équations différentielles simultanées et du premier ordre peuvent être remplacées par des équations de la forme

dx dy dz du

Les équations intégrales doivent contenir trois constantes arbitraires.

627. m équations du premier ordre entre m -h i variables, et qui peuvent être mises sous la forme

dx dy dz

P Q K' ' admettent toujours m intégrales contenant m constantes arbitraires.

628. Quand on ne peut pas résoudre le système proposé par rapport à toutes les dérivées, il existe entre les variables un certain nombre de relations algébriques au moyen desquelles on peut faire disparaître les dérivées dont le système n'a pu fournir les valeurs. Dans ce cas, le nombre des constantes n'est plus égal au nombre des fonctions.

629. Intégration des équations simultanées du premier ordre. — Soit

dx dy ___ dz du

4l2 TABLE ANALYTIQUE

un système d'équations simultanées. Les équations intégrales peuvent être remplacées par le système

a = c, 6 = cf) y =a c".

On peut donc trouver trois fonctions dex,j, 2, u qui conservent des valeurs constantes quand on y fait varier simultanément toutes les variables.

On aura les trois équations identiques :

dct. . da dc/L ,r */a

630. Réciproquement, si Von trouve une fonction 0 des variables xy y> *> u, sans constante arbitraire, telle, que l'on ait identiquement

V équation

sera une intégrale des équations simultanées

dx dy dz __ du T"~" "y" " Tf " Y" L'équation

est aussi une intégrale des équations proposées.

632. Toute fonction 0 <fe ar, 7, z, u </«/ satisfait à l'équation

dx * djr dz au

doit se réduire à une fonction de oc, 6, 7.