DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS

486. M. Cauchy a fait servir la formule (I) au développement des fonctions en séries, et il en a déduit les con-

TRENTE-NEUVIÈME LEÇON. 3l

dirions sous lesquelles ces développements sont convergents. Il est arrivé ainsi è ce théorème remarquable :

Une fonction F(x) d'une variable x, réelle ou imaginaire, peut être développée en série convergente suivant les puissances entières et positives de x, tant que le module de x est moindre que celui pour lequel Injonction ou sa dérivée première devient infinie ou discontinue.

D'après ce théorème, dont la démonstration est donnée par M. Laurent dans V Appendice, les fonctions

e*, sin-r, e*%, cos(i — x*)9

et leurs dérivées premières, ne cessant jamais d'être finies et continues, seront toujours développantes suivant les puissances ascendantes ae x. Mais les fonctions

- -> ' t l(i — x), arctang-r,

et leurs dérivées, cessant d'être continues quandle module

de x devient égal à l'unité, ne seront développables que

si ce module est moindre que l'unité. Les séries obtenues

pourront devenir et deviendront en effet divergentes si le

module de x surpasse l'unité.

Enfin les fonctions ljr, ex, cos - devenant discontinues

avec leurs dérivées pour x = o, et par conséquent lorsque le module de x est le plus petit possible, elles ne seront jamais développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de x.

487. Les dérivées des fonctions que nous venons de nommer deviennent infinies et discontinues en même temps que ces fonctions. S'il en était toujours ainsi, on pourrait, dans l'énoncé du théorème général, omettre la condition relative à la dérivée première; mais on n'a pas, à cet égard, une certitude suffisante.

DES INTÉGRALES EULÉRIENNES. — DÉFINITION. — PROPRIÉTÉS DE L'iNTÉGRALE DE PREMIÈRE ESPÈCE.

488. On nomme intégrale eulérienne de première espèce et Ton représente par B (/?, q) l'intégrale

(i) f xP-l[i — x)*-xdx9

Jo

dans laquelle p et q désignent des nombres positifs. On verra, comme précédemment (460), que l'intégrale (i) aurait une valeur infinie si p ou q était négatif ou nul.

L'intégrale eulérienne de seconde espèce est l'expression déjà considérée (460, 463)

r(n)=( c-'xn-ldx = / (l-j dz.

489. L'intégrale de première espèce peut se mettre sous lune des deux formes

-^ — ^-, 2 / (sinO)V-'(cose)'*-'rf0,

en posant x = — — — dans le premier cas, x = sin* 0 dans le second.

490. L'intégrale de première espèce est une fonction symétrique de p et de q $ car si l'on pose x = i — yy on a

B{p9q)=f [i-jr)F-lj*-ldjr = B(q,p).

On a donc