Différences des fonctions entières

Les différences m*™** d'une fonction entière da m*"* degré sont constantes, lorsque la variable croît par degrés égaux. Les différences suivantes sont nulles.

733 et 734. Exemples.

735. Différences de quelques fonctions fractionnaires ou transcendantes. — La variable croit par degrés égaux.

ï|^ + ij(j; + j4),,,[j;+ (u — »)/*] -nh

Att = ; j î— j

x(x-\-H) {x-\-ih).. .(x-\-mi)

,„ ji(» + 0^

x(x-\-/i)...[x -tn/i) [x-t- (n 4-1) /*]' et ainsi de suite.

Awa = a*(a* — i)\

3° A sin (ax 4-6) = *&in-aàcQs(ax-\-b-+-~ J, A cos(ojt 4- b) = — a sin - a£ sin f «jc 4- 6 4 V

A* sin (or 4- £) = — 4 sin1 ~ sin (nx + b -\-ah)% et ainsi de suite.

des matières. 42^

736. Calcul inverse des différences. — Définitions et notations. — Le calcul inverse des différences a pour objet de déterminer une fonction quand on connaît sa différence finie, ou lorsqu'on a une relation entre celte fonction, quelques-unes de ses différences et la variable indépendante.

La fonction ¥{x) dont la différence est f(x) se représente par

\V(x) et se nomme l'intégrale aux différences finies de/( x). On a

737. Dans le calcul intégral ordinaire, quand on a obtenu une intégrale particulière d'une différentielle donnée, on ajoute à cette première solution une constante arbitraire pour former l'intégrale générale. Dans le calcul intégral aux différences finies, il faut ajouter à une intégrale particulière la fonction la plus générale dont la différence est nulle, w(j?),

Ao(j:) = ts(x-t-h) — c(x) = o.

On aurait une fonction jouissant de la propriété en question, si l'on prenait

zi(x) =Hr( sin ? cos— t— m

V désignant une fonction tout à fait arbitraire.