Sommes des puissances des nombres i

744. Évaluation des sommes par les intégrales ordinaires et des intégrales par les sommes.

S/(*î = j jf */(*) <** - ; t/(X ) - /( *. ) ]

743. Intégrale ordinaire en fonction d'une intégrale aux diffé-

ronces finies :

Le premier terme du second membre est égal à la somme des trapèzes inscrits dans la courbe y = f(x), et déterminés par des ordonnées équidistantes. Quant au premier membre, il représente Taire de cette courbe.

746. La détermination des coefficients numériques peut se faire au moyen d'une fonction particulière.

747 et 748. Formules d'interpolation. — - Formule de Newton. — L'interpolation a pour objet de trouver une fonction d'une variable, connaissant les valeurs de cette fonction qui correspondent à un certain nombre de valeurs données de la variable. Ce problème est indéterminé tant qu'on ne fixe pas la forme de la fonction cherchée. Soient

n -f- 1 valeurs équidistantes d'une variable, et soit h leur différence constante. Soient

les valeurs correspondantes d'une fonction w, que nous supposerons entière et du niime degré :

u = Uq -t- 7- A«0 4- - ( - — 1 ) h . . .

749. Formule de Lagr ange. — Supposons maintenant que les valeurs données de x,

soient quelconques :

( x — xt)(x — Xf). . . (x — .r„)

(x0 — .rj ) (^'0 — .r2) • • • I .'0 ~ •'„) °

(x — x0) (x — xt) . . . ( x — x„)

(•*i — ^o)(^i — x2)...(o:1 — xn)

(x — x0)(x — ■r1)(.r--.rw-i )

(Xn — Xq ) (•**« — Xj ) ( X/t X/A j )

750 et 751. Pormules d'approximation pour les quadratures,

rectifications, cubatures. — Supposons qu'il s'agisse d'évaluer

l'intégrale

/(x)rfr = S,

Jim

ou Taire de la courbe y =f{x) :

formule due à Thomas Simpson.

variation d'une intégrale définie.

752. But du calcul des variations. — On considère une intégrale définie

et il faut trouver pour y une fonction f (x) telle, que cette intégrale ait une valeur plus grande ou plus petite que si l'on remplaçait î(x) par une fonction d'une forme tant soit peu différente.

753. Exemple. — Étant donnés deux points C et D, trouver une courbe plane CMD telle, que la surface de révolution engendrée par le mouvement de cette courbe en tournant autour d'un axe Qx situé dans son plan soit un maximum ou un minimum.

Soit S la surface : en posant

c cx% dx j

il faut trouver une fonction de x, y = f(x), telle, que l'intégrale précédente ait une valeur plus grande ou plus petite que toutes celles qu'on obtiendrait en modifiant infiniment peu la forme de la fonction f(x).

754. La marche à suivre pour résoudre ces nouvelles questions diffère peu de celle qu'on a déjà suivie dans les questions ordinaires de maximum et de minimum.