Définitions et notations. — Soient

l'équation d'une courbe, et

Téquation d'une autre courbe qu'on obtiendrait en faisant varier extrêmement peu la fonction f [x). Si Ton appelle ày l'accroisse ment de l'ordonnée MP quand on passe à la seconde courbe, l'abscisse restant la môme,

est ce que Ton nomme la variation de l'ordonnée ou de la fonction.

756. On ramène les variations aux différentielles en regardant y comme une fonction de x et d'un paramètre arbitraire t. Soit

on aura

** = $"' *r=sl&-

757. Il est souvent nécessaire de faire varier, à la fois, x et /, quand on passe de la courbe proposée à la courbe infiniment voisine. On regarde x et y comme des fonctions d'une variable indépendante «, et d'un certain paramètre t: soit

On suppose que pour / = o, y devienne une certaine fonction de x, ((x)} et que x devienne une fonction quelconque de u,

/[U)' f(„>0) = /(«), +(«fo) = f |/(«)].

Si laissant à t une valeur constante on faisait varier a, on aurait

dx = -— :- du. dr= -7- du,

du ' J du

758. On appelle variation de U la partie de AU qui ne dépend que des premières puissances des variations Sx et 8y.

759. On appelle variation seconde d'une fonction U la variation de <îU : on la désigne par £'U. La variation de cette dernière est appelée variation troisième de U et se désigne par d3U, et ainsi de suite.