L'équalion $\] = o entraîne les deux suivantes

775. Conditions relatives aux limites. — Dans le cas où V ne contient que x, jr, p et <?, l'équation K = o est du quatrième ordre,

et Ton a

Pour déterminer les quatre constantes arbitraires, il faut avoir égard à l'équation r = o. Plusieurs cas :

i° Si Ton se donne les valeurs de xtyy p, q aux deux limites, l'équation r = o est identiquement satisfaite, et on aura

<rl = r(*llclclc>c*),

i° Si Tune des six quantités x9i y91. . ., reste arbitraire, px par exemple, l'équation r = o se réduit à Q, = o ; on a cinq équations pour déterminer les quatre constantes et la valeur de pr

3° Si l'on a

Y,l*ii.r,i»Ai*ii.rii Pt) = °t on aura

En portant la valeur de Sp{ , tirée de cette équation , dans l'équation r = o, il faudra égaler à o les coefficients de £xt, $y91 êp9t 9xt et 9yr On aura dix équations pour déterminer les dix inconnues C, C, C, C", x„ jrê, p„ xn yl9 Pl.

776. Cas ou la fonction V contient deux fonctions de x. — V contient deux fonctions y et z de la variable x. On aura

777 à 779. S'il existe entre y et x une relation

on aura

tlz dy

780. Ligne la plus courte entre deux points dans un plan. — La ligne cherchée est une ligne droite.

des matières. 433

781 . Ligne la plus courte d'un point a une courbe plane. — La ligne la plus courte entre un point et une courbe est une droite normale à cette courbe.

782. Ligne la plus courte entre deux courbes planes. — La ligne la plus courte entre deux courbes planes est une normale commune aux deux courbes proposées

SUITE DBS APPLICATIONS DU CALCUL DES VARIATIONS

783 et 784. Autre manière de résoudre les problèmes précédents. — Au lieu d'appliquer les formules générales, on opère comme il a été expliqué au n° 770.

785. Ligne la plus courte entre deux points , dans l'espace. — Soient x„ y„ zt les coordonnées du premier point, et xn yx, z, celles du second ,

j = rx-hC, s = c'j?-t-C',

équations d'une ligne droite.