Ligne la plus courte sur une surfàcb donnée. — Soit
l'équation d'une surface courbe; proposons-nous de trouver la
ligne la plus courte AMB que l'on puisse tracer sur cette surface
entre deux de ses points A et B.
On a
dV d?
.dx dv .dz ,dr dy ,dz
ds d? ds ' ds db Us
Hz dz
ce qui fait trois équations pour déterminer les deux fonctions / et z. Mais l'une des dernières équations est une conséquence de l'autre et de l'équation de la surface.
788. Les lignes les plus courtes sûr une surface sont nommées lignes géodésiques de cette surface : tous leurs plans oscillateurs sont normaux à la surface.
Les constantes se détermineront comme dans le problème précé-
Sturm. — An., IL 28
dent. Si la ligne cherchée doit aboutir à deux courbes données sur la surface, la courbe ÀMB les coupera à angle droit.
789. La propriété d'être la ligne la plus courte entre deux points quelconques d'une surface peut n'exister que sur une portion d'une ligne géodésique. Sur la sphère, la propriété du minimum appartient seulement aux arcs de grand cercle moindres qu'une demicirconférence.
790. Surface de révolution minimum. — Étant donnés, dans le même plan, deux points X et B, et une droite CD, trouver une courbe AMB, située dans ce plan, et qniy en tournant autour de CD, engendre une surface de révolution dont l'aire soit la plus petite possible.
Prenant pour axe des x la droite CD, et pour axe des/ une perpendiculaire à cette droite , on a
e ( *=£ -Z=Sl\
équation d'une chaînette (574, a°).
SUITE DES APPLICATIONS DU CALCUL DES VARIATIONS
791 et 792. Brachistochrone. — Problème. Étant donnés deux points A et B , trouver la courbe ÀMB que doit suivre un point pesant pour aller du point A au point B dans le temps le plus court possible. Cette courbe s'appelle brachistochrone ou courbe de plus vite descente.
La courbe cherchée est une cycloïde.
793. Si les deux points A et B sont assujettis à se trouver sur deux courbes données CD, EF, on obtient encore une cycloïde AMB, située dans un plan vertical qui coupe la courbe EF à angle droit.
La tangente à la cycloïde au point B est perpendiculaire à la tangente menée à la courbe CD par le point A.
