PROPRIETES DES SURFACES COURBES

Surfaces réglées. — Lignes de striction. — Plans tangents à une surface réglée, gauche ou développable. — Lignes asympto tiques. — Contact de deux surfaces.

SURFACES REGLEES.

32*. Quand les coefficients qui figurent dans les deux équations d'une droite sont des fonctions déterminées d'un paramètre arbitraire X, la droite peut, en général, prendre une infinité de positions dans l'espace; elle ne peut, toutefois, passer que par les points dont les coordonnées satisfont aux deux équations pour une valeur convenable de X ; c'est dire que le lieu de cette droite est une surface, nommée surface réglée, dont l'équation s'obtient en éliminant X entre les équations de la génératrice.

Lorsque les équations d'une droite renferment deux ou trois arbitraires, la droite fait partie de systèmes infiniment plus compréhensifs que le précédent et auxquels on a donné les noms de congruences ou faisceaux et de complexes; on reconnaît immédiatement que, par un point quelconque de l'espace, il passe un nombre fini de droites d'une congruence, et un nombre infini de droites d'un complexe, celles-ci formant une. surface conique. Nous voyons aussi que les droites dont les équations renferment quatre arbitraires sont absolument quelconques et ne sauraient former un système déterminé. Nous nous bornerons ici à considérer les systèmes de droites qui constituent les génératrices d'une surface réglée S.

Nous prendrons des axes coordonnés rectangulaires, le lecteur pouvant voir facilement dans quels cas cette restriction est inutile; nous écrirons les équations d'une génératrice G sous la forme très générale

si Ton désigne par t la valeur des trois fractions, on aura

(a) x = at-r-a, y — bt-\-$, z = ct-h*(.

44o COURS D ANALYSE.

Les constantes a, b, c, a, p, y sont des fonctions déterminées du paramètre X; les trois premières sont proportionnelles aux cosinus directeurs de G, les trois autres sont les coordonnées d'un point P qui joue sur G le rôle d'origine des longueurs ; la distance

du point x, y, z de la droite au point P est t /#*-+- 6*-hc*. / pouvant être positif ou négatif.

Dans des questions particulières, on pourra faire

a*-hb*-hc* = i;

alors a, b, c seront les cosinus directeurs de G. D'autres fois, on fera

les équations de la droite prendront la forme

x = flz + «, y = bz-±- J3,

où ne figurent que les quatre paramètres qui doivent nécessairement entrer dans les équations générales d'une droite.

33*. Le lieu des parallèles menées par un point quelconque aux génératrices de S est le cône directeur de la surface; il peut se réduire à un plan ou à un système de plans; dans tous les cas, chacune de ses génératrices rencontre S en un point rejeté à l'infini, puisqu'elle est parallèle à une droite située sur S.

Si l'on prend l'origine des coordonnées pour sommet du cône, l'équation de ce cône s'obtiendra en éliminant X entre les équations

abc

Quand l'équation de S est algébrique, l'équation du cône s'en

déduit en égalant à zéro l'ensemble des termes du plus haut degré.

Soit, en effet, F(x,y,z) la somme de ces termes : pour que la

droite (3) rencontre la surface réglée en un point à l'infini, il faut

qu'on ait

le lieu de cette droite se trouve en éliminant a, b, c entre cette équation de condition, qui est homogène, et les équations (3); le résultat de l'élimination est

LIGNES DE STRICTION.

34*. Nous aurons besoin de connaître l'angle de G avec une génératrice G' infiniment voisine, la grandeur et la position de la perpendiculaire commune à ces deux droites; à cet effet, nous rappellerons les formules de Géométrie analytique qui résoudraient les mêmes problèmes pour la droite G et une autre droite Gi définie par les équations

a\ ê>i cmi

Désignons par V l'angle des deux droites et posons, pour abréger,

bc\ — c6i=A>, ca% — ûCi = lfl>, ab\ — £ai=C,

^+^1+0» = /^; on aura

smV = ,

La perpendiculaire commune aux deux droites a pour longueur

± j[X(«t-«)-Hifc(Pi-P)-«-e(Tt-T)];

es cosinus directeurs sont y > -j-y -jy et 1* val^ur de / qui détermine sur G la position du point où cette droite rencontre la perpendiculaire commune est

T== 2p K*»®-" «ilk)(«i — a)-f-(ctX — OiC)(ft— P)

-+- (otiO» — iiA.) (yi— y)].

Supposons maintenant que Gi devienne infiniment voisine de G : a — a, oti — a, ... pourront être remplacés par les différentielle s da, da, db, d$y dcy d^\ X deviendra

b(c -*- de) — c(b +• db) = bdc — cdb,

ift> et G deviendront eda — ade, adb — b da, et les formules générales se simplifieront parce qu'on pourra se borner aux parties principales des termes qui y figurent. Il convient, d'ailleurs, de

remplacer da, c?a, ... par a'dk, a'tfX. .... a', a', b', P', c\ y désignant les dérivées de a, a, £, p, c, y par rapport au paramètre X dont elles dépendent. Nous poserons

bc' — cb'=A, ca' — ac, = Bi ab'—ba'=C,

A1 -h IP -h C« = H* ;

l'angle de G et de G', qu'on peut prendre pour son sinus, est

HrfX

La perpendiculaire commune à G et à G' a pour longueur

ABC ses cosinus directeurs sont jp n> ^; elle rencontre G en un

xi il H

point qui tend vers une limite déterminée Q, dont la position sur G est définie par une valeur de / égale à la limite de t, savoir

, A(*P'— &Y')-4-B(ay'— c*')H-C(fta'— «p') T = ua

35*. Le point limite Q, dont les coordonnées sont

x = aT-ha, ^ = tT-+-p, s = cT-h7,

est le point central de G; le plan qui passe par G et par la droite limite de la perpendiculaire commune à G et à G' est le plan central do G.

Le lieu des points centraux des diverses génératrices de S est la ligne de striction de la surface; il n'y a pas de raison pour qu'elle soit tangente aux plus courtes distances des génératrices infiniment voisines et, en général, elle coupe obliquement les génératrices de S.

Considérons comme exemple les droites définies par les équations

x -*~ \\* __ y __z-+-Xv/^.

ellos forment l'un des systèmes de génératrices du paraboloïde