PLANS TANGENTS AUX SURFACES RÉGLÉES, GAUCHES

OU DÉVELOPPABLES.

36*. En général, l'angle <p et la plus courte distance 8 de deux génératrices infiniment voisines sont du même ordre de grandeur que la variation dk que subit X quand on passe d'une génératrice

à l'autre; mais le rapport - , que nous désignerons par p, est fini.

Lorsque <p est infiniment petit par rapport à c?X, les génératrices G et G' peuvent être considérées comme parallèles; si le même fait se présente pour toutes les valeurs de X, la surface est cylindrique. On peut rétablir par le calcul : pour que <p soit infiniment plus petit que d\, il faut que le numérateur H de sa partie principale ( 34* ) soit nul ; cela exige A = B = C = o, et l'on en conclut immédiatement

abc (Iq bo Cq

a0y è0, c0 étant les valeurs de a, b, c pour une certaine valeur de X; les cosinus directeurs de G, proportionnels à des constantes, sont constants.

Quand 8 est infiniment plus petit que cft, les deux génératrices G et G' peuvent être considérées comme se rencontrant, et, si cela arrive quel que soit X, la surface S est développable. Pour nous en rendre compte analytiquement, remarquons que le coefficient de dk dans 8 (34*) doit être nul :

(i) Aa'-+-B-p'-4-CT' = o.

D'ailleurs, le point P(a, [3, y) peut être choisi comme on veut sur G : je le fais coïncider constamment avec le point central ; T est alors constamment nul, et Ton a

(2) (£C — cB)a'-t-(cÀ — *C)p'-h(«B — £A)y'=o.

Les équations (i) et (2) permettent de trouver des quantités proportionnelles à a', (3', y' :

a(B*-4-C*) — A(6B-4-cC) 6(C*-h A*) — B(Cc+- Aa)

c(A*-hB*) — C(ArtH-B^)' Or on a identiquement

aA + bB + cC = 0;

si Ton transforme, au moyen de cette identité, les parties soustractives des dénominateurs, on trouve

<' P' jL

- — ----X X 1-tL? " •

h*a h*b H*c Les équations de la droite G peuvent donc s'écrire

c'est dire que cette droite est une tangente à la ligne de striction; la surface S qu'elle engendre est donc développable. Notro calcul suppose, il est vrai, a', (3', y' différents de zéro; si ces dérivées étaient toujours nulles, a, (3, y seraient constants, et S serait un cône, c'est-à-dire encore une surface développable.

Quand p n'est ni nul ni infini, deux génératrices consécutives ne sont pas dans un môme plan et la surface S est gauche.

37*. Nous allons chercher l'équation du plan tangent en un point M dont les coordonnées sont x = at -+- a, jr = bt -h (J, z = et -+- y ; elle est de la forme

(3) P(X — «/ — a)-hQ(Y — bt— (3) -+- R(Z-c/- ?) reconsidérons une ligne quelconque située sur S et passant par M ; les cosinus directeurs de sa tangente sont proportionnels aux valeurs de dx, dy et dz qui correspondent à un déplacement sur la courbe à partir du point M, savoir

(af/-t-a')rfX -+-adt, (b't ■+-$') dk + bdt, (c't -h l')dk -+-cdt.

Pour que la tangente soit située dans le plan (3), il faut qu'on ait

?[(a't + a') dl -h adt] -*• Q[( £'/-+- P') cCk -+- bdt]

-4- R [(c't -+- y') d\-+-cdt] = o;

le rapport de d\ à dt peut être quelconque, et l'égalité ne peut avoir lieu identiquement que si le coefficient de chacune des différentielles est nul séparément; on a ainsi deux équations de condition d'où l'on tire des quantités proportionnelles à P, Q, R ; il suffit de les substituer dans l'équation (3) pour avoir celle du plan tangent en M :

(At + bf— cP')(X — a)-4-(B/-f-ca' — *y')(y-P)

(C/-f-ap'-6a')(Z — Y) = o.

Cette équation contient /, et le plan tangent ne doit pas être le même, en général, aux divers points d'une génératrice G. Pour étudier la loi de sa variation, faisons coïncider Taxe des x avec G : sur cette droite, 6, c, p, y sont nuls; A, B, C se réduisent à o, — ac\ ab' ; on peut faire a = o, a = i ; / est alors égal à l'abscisse x du point de contact, et l'équation du plan tangent en un point de G devient

(4) (c'*-ky')Y--(&'*h-P')Z = o.

Cette équation peut encore être simplifiée; mais, sous sa forme

actuelle, elle permet de faire une remarque importante. Imaginons une surface réglée St ayant aussi pour génératrice G : le plan tangent à St en un point de G aura une équation de la forme

les valeurs de x pour lesquelles les deux plans tangents coïncident sont données par une équation du second degré; on en déduit ce théorème :

Deux surfaces réglées qui ont une génératrice commune ont même plan tangent en deux points de cette génératrice; si leurs plans tangents coïncident en plus de deux points, ils coïncideront tout le long de la génératrice.

La dernière proposition est souvent mise à profit pour construire le plan tangent à une surtaco réglée quelconque S : si Ton connaît le plan tangent en trois points d'une génératrice G, on pourra déterminer un paraboloïde qui passe par G et qui admette les trois plans tangonts considérés; en tout autre point de G, le plan tangent à S coïncide avec celui du paraboloïde qu'on sait construire : le paraboloïde est dit paraboloïde de raccordement.

38*. Revenons à l'équation (4) et supposons que nous fassions coïncider l'origine des coordonnées avec le point central, l'axe des 7- avec la limite de la perpendiculaire commune à G et à G' : C doit s'annuler comme A, et aussi T; on voit qu'il en résulte b' = ?'= o; <p se réduit à c'dk, 8 à P'<A, l'équation (4) devient

Le plan tangent au point central coïncide avec le plan central; à partir de ce point il tourne d'un angle dont la tangente est proportionnelle à l'abscisse du point de contact; le rapport de proportionnalité p s'appelle paramètre de distribution. À l'infini, le plan tangent est perpendiculaire au plan central; il est parallèle à G', ou, si l'on veut, au plan qui touche le cône directeur tout le long do la génératrice parallèle à G.

Quand p est inGni, comme cela arrive sur un cylindre, le plan tangent reste confondu avec le plan central, sauf à l'infini où il est indéterminé. Si p est nul, le plan tangent est perpendiculaire au plan central en tous les points de G, sauf au point centrai, ou

il est indéterminé. En somme, le plan tangent à une surface développante reste le même tout le long de chacune de ses génératrices.

Le plan tangent en tous les points d'une droite D située sur une surface ne varie suivant la loi qui vient d'être établie que si D fait partie d'un système de droites tracées sur la surface; il est clair, par exemple, qu'on peut imaginer un conoïde dont les plans tangents aux divers points de son axe varieront suivant une loi parfaitement arbitraire.

LIGNES ÀSYMPTOTIQUES.

39*. On appelle ligne asymptotique une ligne tracée sur une surface S, de telle sorte qu'en chacun de ses points elle soit tangente à l'une des asymptotes de l'indicatrice de S relative au même point. 11 existe, en général, deux systèmes de lignes asymptotiques sur une surface quelconque, du moins sur la partie de cette surface où, les courbures principales étant de sens contraires, les indicatrices sont hyperboliques et ont des asymptotes réelles.

Le plan qui passe par la normale à S en un point M et par une des asymptotes MA de l'indicatrice détermine dans la surface une section dont le rayon de courbure en M est inûni ; soit donc M' un point de cette section infiniment voisin de M; la distance du point M' à MA et, par suite, au plan tangent en M, est, à moins

d'infiniment petits de Tordre de MM' , égale à MM' divisé par le double du rayon de courbure en M (4*); cette distance est donc d'ordre supérieur au second, MM' étant du premier ordre infinitésimal. Cela posé, rapportons la surface à un système d'axes coordonnés qui ne sont pas nécessairement rectangulaires : soient x, jr, z les coordonnées du point M ; celles du point M' seront, en employant les notations ordinaires, de la forme

(i) x-hh, jr-l-A:, z-hph -+-qk-+- - (r/^H- ishk-h r/cl)-h...,

h et k étant des infiniment petits du premier ordre. Pour que la distance de ce point au plan tangent en M, défini par l'équation

soit d'ordre supérieur au second, il faut que, en remplaçant dans

l'équation (2) X, Y, Z par les expressions (1), les termes du premier et du second ordre disparaissent; les termes du premier ordre se détruisent, et l'on aura, pour la somme des termes du second ordre,

(3) — i(r/z*-+-af//AH- tk*) = o.

Considérons maintenant la ligne asymptotique qui est tangente à

MA : elle est aussi tangente à la section normale considérée, et,

si Ton appelle dx, dj, dz les différentielles correspondant à un

h k déplacement sur la ligne asymptotique, on aura -t- = -7-; la

relation (4) donnera donc

(5) rdx*+%sdxdy-htdj*=o.

l^es dérivées partielles r, s, t peuvent être regardées comme des fonctions connues de x et de y\ l'équation (5), qui a lieu pour un point quelconque d'une ligne asymptotique, constitue une équation différentielle de la projection de cette ligne sur le plan

dy

des xy. Cette équation est du second degré par rapport à -~;

donc, par chaque point du plan des xy, il passe deux lignes qui sont les projections de deux asymptotiques appartenant aux deux

dr

systèmes que j'ai signalés. En général, les deux valeurs de —

tirées de l'équation (5) contiennent un même radical; il en résulte

que les projections des deux systèmes d'asymptotiques forment

deux branches d'une môme famille de courbes : il n'en est plus

dr ainsi quand l'équation (5) donne pour -~ deux valeurs ration

nelles par rapport à x et à y.

40*. Le plan tangent en M est oscillateur à chacune des asymptotiques qui y passent.

Pour le prouver, je prends pour axes des x et des 7 les tangentes à l'indicatrice en M, pour axe des z la normale à S au même point. L'ordonnée d'un point quelconque de la surface peut se développer suivant les puissances de x et 7, en une série ne contenant ni terme constant ni termes du premier degré, et de la

forme

\ z = -(ax*-+-itbxjr -*-cy*)

g (ex* •+- 3/x*/ 4- 3#x/»-+- hy*)

Quand x ou 7 s'annule, z ne doit contenir que des termes du troisième ordre, au moins, par rapport à x et y : il faut que a et o soient nuls. L'équation qui détermine les projections des lignes asymptotiques de S peut s'écrire

... J (ex + fjr+...)dx*~+-ià(b-hfx-¥-gjr-4-...)dxdy

( -+-(gx + hy-r-...)djr*=o.

Considérons, d'autre part, l'asymptotique tangente à MX : Yjr •d'un de ses points peut se développer suivant les puissances entières de l'abscisse x, soit

(7) jrrsXx'-hfJLT*-*-..., d'OÙ df = (2 Xx H- 3 [*#*-+-...)<£*,

Si l'on remplace y et djr par ces valeurs dans l'équation (5 bis), on peut diviser tous les termes par xrfx*, et il reste

les termes non écrits renferment au moins x*. L'équation précé dente doit être satisfaite quel que soit x, puisque, par hypothèse, l'équation (7) est une des équations de l'asymptotique : si l'on annule le terme indépendant de x et le terme en x, on trouve

l — e — **ef

les équations de l'asymptotique sont donc, en négligeant les termes

en x*,

e 5ef e ,

y= rX*H 7— X*. Z = X*.

J ib 246* ' 4

On reconnaît que le plan osculateur à l'origine est précisément le

plan des xy\ quant au rayon de courbure de l'asymptotique en

x1 ce point, il est égal à la limite de — pour x = o, c'est-à-dire à

la valeur absolue de — qui est, en général, finie; le théorème

de Meunier donnerait pour ce rayon une expression de forme

Stlrm. — An., II. 2g

45o cours d' analyse.

indéterminée, ce qui n'est pas en contradiction avec le résultat obtenu directement

41*. Quand une droite est tout entière sur une surface, elle

constitue Tune des lignes asymptotiques qui doivent passer par

chacun de ses points. S'il s'agit d'une surface développable, on a

pour tous ses points s* — rt = o (687); il en résulte que l'équa-

dy tion (5) (39* ) donne toujours pour ~ deux valeurs égales; donc,

en chaque point d'une surface développable, les deux lignes asymptotiques se confondent; ces lignes forment un système unique, qui est celui des génératrices rectilignes de la surface.

11 est encore facile de déterminer d'une manière générale les asymptotiques d'un conoïde. Si l'on prend pour axe des z la droite directrice du conoïde et pour plan des xy le plan directeur, l'équation de la surface est de la forme

on en tire, en différentiant deux fois,

x% ^ \x) xk y \x / '

x* T \x / L'équation différentielle des projections des asymptotiques devient

(îjp/rf^ — aar* dxd)-)y'( — )

-+- (/* dx% — 2xjr dxdy -\-x* djr* ) cp " ( — \ = o.

Cette équation se dédouble, puisqu'on peut la mettre sous la forme

\jdx — xdy"\ I ixdxo ( - \-\-(ydx — xdjr)^sf l - M =o.

Si l'on égale le premier facteur à zéro, on en tire^ = Cr; cetto équation représente une quelconque des génératrices rectilignes

du conoïde, qui forment un premier système d'asymptotiques. Pour avoir le second système, j'égale le dernier facteur à zéro :

en divisant par x* <p' ( - ), on trouve

xdr — rdx

x* • \ x } dx

On a en évidence des différentielles de logarithmes : intégrant et passant des logarithmes aux nombres, on trouve

C étant une constante arbitraire; quand on la fait varier, l'équation représente les projections de toutes les asymptotiques du second système.

42*. Il est souvent avantageux de déterminer les lignes asymptotiques autrement que par leurs projections : sans parler des solutions géométriques que peut fournir la considération des rayons de courbure principaux, j'envisagerai le cas où les coordonnées .r, 7, z d'un point quelconque M dé la surface S sont exprimées en fonction de deux paramètres u et v. Les coordonnées d'un point de M' voisin de M seront

dv , dx .

«r -h -r-du-\ — r dv au dv

H- - ( -t-z du* -f- 2 , , dudv -+- -r-- dv1 ) -+- . . . 2 \ du* du dv dv1 ]

et deux autres expressions analogues. L'équation du plan tangent en M est de la forme

quand du et dv sont infiniment petits, la distance d'un point te que M' à ce plan doit être du second ordre, quels que soient du eidv] il faut que l'on ait

/ o \ a dx i» dr ndz . dx ndy -dz

(8) A-j- + B-~- -+-C-J- =o, A-t+Bt+Ct=o. du du du ' <&> <&> dv

Si le point M' est sur une asymptotique passant par le point M, la distance doit devenir infiniment petite du troisième ordre, ce qui donne la condition

+a(AS;+--')d"rf^(A^"»---*)*,,==0-

cLx d^.v Les dérivées t- , -^-x > • • • peuvent s'exprimer en fonction de «

et de c; il suffit d'éliminer A, B, G entre les équations (8) et (9) pour former une équation différentielle dont l'intégration donnera entre u et v une relation qui sera, sur la surface, l'équation des lignes asymptotiques.