CONTACT DE DEUX SURFACES

43*. Soient M un point commun à deux surfaces U et Y, et M un point situé sur U à une distance infiniment petite du premier ordre de M : si, par le point M' nous menons diverses droites assujetties à la seule condition de ne pas faire de très petits angles avec le plan qui touche V au point M, ces droites rencontreront respectivement la surface V en des points M', M*t , ... infiniment voisins de M'; je dis que les segments M' M', M'M'i, ... sont du môme ordre de grandeur. Considérons le triangle M'M'M*tl par

exemple : il donne

M' M' sinM'M', M* .

M'AI', ~ sinM'M'Jtt'i ;

le second rapport est fini parce que la droite M#M*t, qui fait un très petit angle avec le plan tangent à Y au point M, fait avec M'M' et M9! M' des angles dont le sinus n'est pas très petit; M'M" et M'M9t ont donc entre eux un rapport fini.

Il y a plus : l'ordre de grandeur des segments M'M* est, en général, indépendant de l'orientation de l'arc MM' sur U. Pour le démontrer, rapportons les surfaces à un système d'axes, tel que l'axe des z ne soit parallèle à aucun des plans qui touchent U ou Y en M; nous avons, d'après ce qui a été établi, le droit de prendre nos segments M'M* parallèles à l'axe des z. Soient

les équations des deux surfaces ; ar, y% x+ h, y -+- k les coordonnées des projections des points M, M' sur le plan des xy\ le segment M' M" est égal à la différence des ordonnées correspondantes

\dx dx ]

Quel que soit le rapport de k à h, pourvu que ces quantités soient infiniment petites du premier ordre, M' M* sera d'un ordre déterminé, /i-t-i par exemple, si toutes les dérivées partielles de <p et de <j>, jusqu'à l'ordre n inclusivement, sont égales chacune à chacune, et nous savons que l'ordre de M' M' sera toujours rt-hi quand môme on changera la direction de ce segment. On dit alors que les surfaces UetY ont un contact de l'ordre n au point M.

Nous devons remarquer que, dans le cas considéré, il y a

n-hi valeurs de j > et, par suite, n «+- 1 directions de MM', pour

lesquelles M' M' devient de l'ordre «h- 2; cela résulte de ce que l'ensemble des termes de degré /i + i dans l'égalité (1) peu/, s'écrire

(#1-1-1)! L dx»+i "~ ~dx^i ~4~' ' '"*" 2»+» \ay^ ~~ drn+l)\ '

et disparaît pour /2 + 1 valeurs de y • Ainsi supposons que la surface U soit le plan tangent à Vau point M : M' M" est généralement du second ordre, mais il devient du troisième ordre si M' est sur une des asymptotes de l'indicatrice.

44*. Une courbe quelconque tracée sur la surface U et passant par le point M a un contact de l'ordre n avec V; il en résulte, J9*, et l'on pourrait voir directement que les coordonnées d'un point tel que M' substituées dans l'équation de V donneront à son premier membre une valeur infiniment petite de l'ordre n + i. On peut regarder les coordonnées d'un point quelconque de U comme des fonctions de deux paramètres indépendants a et p ; le résultat de leur substitution dans le premier membre de l'équation de V lui fait prendre la forme F (a, p). Soient <z0, po, a0 + Aa, p0-+- Ap

les valeurs des paramètres a et p aux points M et M' :

F(a0-hAoc, p0-+-Ap)

devra être de Tordre n-\-i par rapport à Àa et Àp. Si l'on écrit que tous les termes d'ordre inférieur disparaissent, le nombre des conditions du contact considéré est

On obtiendrait pareil nombre de conditions en exprimant que b(x,y) et cp(.r, j) sont égales, ainsi que leurs dérivées des n premiers ordres pour les coordonnées du point M.

45*. Lorsque U appartient à une famille de surfaces dont l'équation renferme N paramètres arbitraires, on peut disposer de ces paramètres de manière que U ait avec V un contact d'ordre n en un point donné; U est alors osculatrice à Y. Si le nombre des paramètres n'est que N — i ou N — 2, on ne pourra obtenir un contact de l'ordre n qu'en certains points particuliers. Ainsi prenons pour U la sphère

qui dépend de quatre paramètres : elle peut avoir en certains points, avec une surface donnée V, un contact du second ordre, pour lequel N = 6. D suffit de différentier l'équation (2) pour avoir les dérivées de z au moyen d'un système d'équations faciles

à résoudre; on trouve

x — a-h p(z — £)=o, y — b-\-q(z — tf)=o:

11 -+-/?*'-+- r(z — c)= o, pq + s(z — c)=o, 1 -+- q*-h t(z — c)= o,

ces cinq équations doivent être satisfaites par les valeurs de p, 7, r, s, t tirées de l'équation de Y; or les trois dernières ne sont compatibles que si Ton a

1 ■+■ P% P*! » + 9,J celte condition n'est satisfaite qu'aux ombilics de Y; c'est en ces

points seuls que la surface peut avoir un contact du second ordre avec une sphère.

En général, le nombre de paramètres qui figurent dans l'équation d'une famille de surfaces U n'est pas égal à un nombre triangulaire tel que N, ni même àN- iouàN — a : quand on a disposé des paramètres de manière à obtenir avec Y un contact d'ordre aussi élevé que possible, il reste plusieurs paramètres indéterminés. Cette circonstance donne lieu à des questions intéressantes! mais dont l'examen ne saurait trouver place ici.