NOMBRE DE RACINES D'CNE ÉQUATION COMPRISES DANS UN CONTOUR DONNÉ

46*. Nous nous proposons d'établir d'une manière générale une formule donnée par Lagrange pour développer en série les fonctions monodromes et continues d'une variable déterminée par une équation de forme remarquable; mais, pour cela, nous commencerons par établir un lemme important par lui-même.

Soit F(z) une fonction continue et monodrome, ainsi que sa dérivée, pour toutes les valeurs de la variable imaginaire z comprises à l'intérieur d'un contour donné S : le nombre p des racines de l'équation F(z) = o, comprises dans le contour S, est

l'intégrale étant prise tout le long de S et, d'autre part, chaque racine étant comptée autant de fois qu'il y a d'unités dans son degré de multiplicité.

On sait, en effet, que l'intégrale est égale au produit de a* /— i parla sommo des résidus de la fonction «4—/ pour les pôles compris à l'intérieur de S; or, ces pôles sont les affîxes des racines de F(z) = o. Soit a l'une de ces racines: on sait que son degré n

( ' ) Cette Leçon pourrait faire suite ans Chapitres consacrés an théorème de Cauchy, aux séries de Maclaurin et de Laurent dans l'Appendice sur la Théorie des fonctions elliptiques.

de multiplicité est entier et qu'on peut écrire

F(0 = («-«)^i[«?(Oh-(*-«)?'<*)], cp(a) étant différent de zéro et ?'(#) fini. Le résidu relatif à a, qui n est autre que la limite de - — p-H1- pour z = a, parce

que a est un infini simple de t— - > sera égal à « ; on aura des

résultats analogues pour les autres points racines compris à l'intérieur de S, et l'intégrale considérée sera égale à

aie y/ — i (/i -+- n' + n'-h . . .) = aicji. V^ — *>

ce qui démontre notre proposition. Gomme, d'autre part, l'intégrale indéfinie est LF(z), on voit que ce logarithme augmente de a (Aie /— i quand on fait parcourir au points le contour entier dans le sens direct; réciproquement, il suffirait de connaître cet accroissement de L F(«) pour en déduire le nombre des racines comprises dans le contour.

Prenons pour F(z) un polynôme de degré m, pour S une circonférence de très grand rayon R ayant son centre à l'origine; on posera

et, quand z parcourra la circonférence, 0 variera de o à aie;

Tr-{ dz se réduira sensiblement kimdiï /—^ et l'intégrale le

long de la circonférence à amie y/^~\ : on en conclut qu'une équation de degré m a m racines.

47*. Pour arriver à la formule deLagrange, considérons l'équation

dans laquelle a et Ç sont donnés : traçons autour du point Ç un contour S à l'intérieur duquel f(z) etf(z) soient continues et monodromes, et supposons le module de a assez petit pour qu'en

tous les points de S le module de *j, / 8oit < T- Je dis çra© Ie nombre des racines de l'équation (i) comprises à l'intérieur de S

se réduit à l'unité : en effet, ce nombre est égal au quotient par a* /^T de l'accroissement que subit

(a) L[* -Ç -«/(=)]= L[2-Ç]-hl[i+^]

quand l'affîxe de z parcourt une fois S dans le sens direct. Or. dans ce déplacement de z, l'argument de z — £ augmente de 2?r,

L(z — Ç) croit de aie/—1 ; quant au dernier logarithme, il est de la forme L(i -+- n)> le module de u restant < i; c'est une fonction monodrome qui reprend sa valeur quand z revient à son

point de départ. En définitive, le logarithme (i ) croît de 21c /— 1, et l'équation (1) n'a qu'une racine à l'intérieur de S; cette racine, que je désigne par zu est une fonction bien déterminée de Ç et de a; c'est celle qui se réduirait à Ç si Ton suppposait a = o.