H*) «KO , «/(0«KO

Le premier membre n'a, dans l'intérieur de S, qu'un seul pôle, z = zi; comme c'est un infini simple, le résidu correspondant est

Gela posé, multiplions tous les termes de l'identité (4) par dzt et intégrons chacun des produits tout le long de la ligne S : d'après le théorème de Cauchy, l'intégrale du premier membre est égale

à ait Ai; de plus on a

On a donc, en divisant par 277/,

„ j rr« /coi*»* w*

Je dis que R, est nul pour n infini : en effet, soient / la longueur de la ligne S, M et M' les plus grandes valeurs que prennent

sur cette ligne les modules de 8 ' V et de =" — tt-t ; on aura

modR»</M'M*+1;

or le dernier terme est nul pour n inGni, puisque, par hypothèse M < 1; modR/x et RA ont donc, a fortiori, zéro pour limite.

Maintenant, dans l'égalité (5), remplaçons les fonctions <J> par leurs valeurs (3) : le premier membre devient <p(zi); dans le second, nous grouperons les deux termes qui renferment a à une même puissance et, pour éviter toute difficulté, nous ajouterons

et nous retrancherons -. a ->v^^^r[/(0,w', <P(î)]î A viendra

+ R»-(TTÏÏÏ^/(Ç) ?(°-

Le terme entre crochets dans le S est égal à la dérivée (n — i)**"do /(Ç)*1 ?'(?)» quant au dernier terme, il tend vers zéro pour n infini; en effet, c'est le terme général du second membre de l'équation (5) dans laquelle on aurait changé <|* en <p, et ce second membre, prolongé indéfiniment, doit former une série conver-

46o cours d'analyse.

gente. Le second membre de l'équation (6) peut donc aussi être prolongé indéfiniment et donne une série convergente; on a

Telle est la série de Lagrange; elle reste convergente tant que ol satisfait à la condition posée dès l'abord, et a pour somme une fonction parfaitement déterminée.