PROBLEME DE KEPLER

49*. Pour nous rendre compte des conditions de convergence de la série de Lagrange, considérons l'équation de Kepler

(i) s = Ç-+-asinz;

prenons pour le contour d'intégration S dont nous nous sommes servis une circonférence décrite du point ( comme centre avec r pour rayon; un point de ce contour a une affixe de la forme

Nous devons avoir, pour toutes les valeurs de 0,

modg31P -j— ~ — - <1t modot<r:modsin(Ç-hr^')reP*

11 suffit que cette inégalité ait lieu pour la valeur de 0 qui rend le module du sinus maximum. Supposons, comme c'est le cas en Astronomie, que Ç soit réel; on a

sin(Ç -t-reto) = sin(Ç-h7,cos6)cos(r/sin8)

■+• cos(Ç 4- r cosô) sin(rt sinô)

= -sin(Ç4-rCOSe)(^*sln6 h<r-riIn0)

-+- 7C0S(Ç +r cos6)(^»ta«— e-"***).

Le carré du module de sin(Ç ■+■ re0/) est donc

I[e«r»lDe4 e-Ir»ln6 2C0S2(Ç4 rc08e)].

Cette expression atteint son maximum absolu m* pour 6 = -

ir

et Ç = - y valeur qu'il est bon de considérer si Ton veut être certain de pouvoir développer en série, quel que soit (, les fonctions de la racine z, qui se réduit à Ç pour a = o. Quoi qu'il en soit, le

maximum m est égal à -(er-he~r), et nous devons choisir fit de telle sorte qu'on ait

moda<

Maintenant nous avons le droit de prendre le rayon r de la circonférence auxiliaire de manière que le second membre soit aussi grand que possible : ce sera un maximum parmi les minimums relatifs à 6. La valeur de r qui donne ce maximum est déterminée

par l'équation

er-\-err — r(er — e~r) = o;

elle est égale à 1,19968... et donne 0,66274... pour la limite que peut atteindre mod« sans que la série de Lagrange cessa d'être applicable aux fonctions continues et uniformes de zt.