CALCUL DES RÉSIDUS
Avant de montrer comment on calcule le résidu d'une fonction, nous allons revenir un instant sur la règle de la différentiation sous le signe f. Cette règle est encore applicable quand on s'adresse à une intégrale prise entre des limites imaginaires, puisqu'une telle intégrale revient à une autre prise entre des limites réelles. Enfin cette règle est encore applicable quand la variable par rapport à laquelle on ditférentie est imaginaire. En effet, différentier une quantité u par rapport à
x -\rj^ — i, c'est calculer le rapport
d« , du ,
— dx 4- -r- dr
àr t\y J
dx -+- dy ^ — i
Ce rapport est indéterminé (excepté si u est une fonction monogène), et, pour en préciser le sens, on doit
dy donner le rapport —-> ou, si Ton veut, on doit supposer
CLJC
x et y fonctions données <p(t), ty (?) d'une même va-
dx dy riable *. et se donner —r et -7- • On diflcrentie alors le
' dt dî
long de l'élément (dx9 dy) appartenant à une courbe dont les équations sont x = (f(f),j = ^(l); on a alors l'expression suivante de la dérivée de u
dit , , . d« ,
Si l'on veut alors di fie rentier l'intégrale
du da
par rapport k x-hjry/ — 1, on formera —, — par la règle ordinaire, et l'on aura
dV
ou
dv r à/
rzr-dp,
d(x-hjnj — 1) J (1^4-/^-7)
et l'on voit que Ton diflerentie par rapport à un paramètre imaginaire comme par rapport à un paramètre réel.
Lorsque la quantité qui se trouve placée sous le signe/ est monogène par rapport au paramètre, on peut raisonner encore plus simplement en faisant observer que
-=- est égal à -j-î et que diÛerentier par rap-
d(j*-*-r^— 1) dx i ri
port à x -hyyf—~î) c'est en définitive différenlier par rapport à la variable réelle or.
Cela posé, calculons d'abord le résidu de la fonction
y> ' 9 y(z) étant supposée finie et différente de zéro
pour z = c ; ce résidu est
et l'intégrale est prise le long d'un contour circulaire infiniment petit décrit autour du point c comme centre. Soit e le rayon de ce contour, on pourra poser
et faire varier 0 de o à arc. En effet, la longueur de cz
étant désignée par e, et c restant constant, le point z décrit le cercle de rayon e et de centre c. L'angle 0 est r angle X cz que zc fait avec Taxe Oj, et, quand le point z décrit le cercle, 0 varie évidemment de o à arc. De (2), on tire
dz = f eV~» dO.^ — 1;
(1) devient alors
R== — / <p(i<?*v^-hcW/Ô.
2*Jo
Or R est indépendant de la longueur du rayon e, qu'il
faut du reste supposer infiniment petit; donc, en faisant
f = o, on a
On voit donc que, s\f(z) est une fonction telle que
pour z = c, soit une quantité finie différente de zéro, celte quantité sera précisément le résidu def(z) relatif à son infini c.
Reprenons la formule (i), et remplaçons R par <?(c), nous aurons
T(c)=i flÈl*
et, en diflerentiant m — i fois par rapport à c,
f-l\c) = 1-= f7îiîî^i.3.3...(m-i)5
on a donc
i /• <p (a) rfs __ <pw- ! [c)
*vsj~i J (*.— c)-"" i.2.3...(m-i)'
et Ton a ainsi le résidu d'une fonction de la forme
