DES INTÉGRALES DÉFINIES

Proposons-nous d'abord de trouver la valeur de l'intégrale définie suivante, dans laquelle a est un nombre positif,

smff.r dx.

o Stcrm. — Ann II. 3l

( 48a.) A. cet effet, nous prendrons l'intégrale

dz

le long du contour suivant formé : i° d'une droite ga allant de — oo au point a voisin de zéro ; 2° d'un demicercle très-petit abc, décrit autour de l'origine avec le

Ffg. S.

rayon r; 3° d'une droite allant de c vers -+- oo $ 4° d'une perpendiculaire de à l'axe des y, située à l'infini -, 5° d'une parallèle ef h Taxe des #, située à l'infini; 6° d'une perpendiculaire /g située également à l'infini 5 nous aurons, en supposant a positif,

(abc

(cd

[de [*f

— r çaMyf-i dx

= — - 27T J — 1 . résidu de = — ir J — 1 *

VCrï = o,

Le contour total d'intégration ne contenant pas d'ir> fini de > l'intégrale prise le long de ce contour est

«( 483 ) nulle; doue

Or la première intégrale devient

dx — o.

quand on y change x en — #$ et par suite»

dx = 7r y' — '»

ou, pour r = o,

00 y *\x\ax , /

~*' * dx = w\/ — i,

Jf*00 sinax ir /»-+-*> s;nax f dx = - et J <£r

La fonction

sinax — — «j?

ne contient donc pas a, mais elle en dépend; en effet, en changeant le signe de a, elle change de signe ; cela s'explique, car, en posant ax = z, on a

Si nous intégrons fe~*'dz le long de Taxe des x et d'une parallèle à cet axe située à la distance a, et si nous fermons ce contour par deux parallèles â Taxe des y situées à l'infini, nous trouverons zéro, or les intégrales rela-

tives à ces parallèles à l'axe des y sont nulles, ce qui se voit en écrivant notre intégrale ainsi :

€-* dx -f- / tf— ,+r --rv^r// y7— i

-00 Jo

Xo

Dn a donc

/-l-oo /»-hoo

er* dx — l «-*'+•'- W-«rfr; -00 »/ — 00

on en tire o

ér-*' (cosaax — y — l s\ti2ax)dxi

d'où, séparant les parties réelles et imaginaires,

^ncr** = I <?-** cosiaxdx,

J — oo

/H- oo e~** sxnzaxdx.

Si Ton veut obtenir la valeur de l'intégrale suivante, où a > o,

00 cosrrxdx

on peut observer qu'elle est la partie réelle de celle-ci