QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS

Nous avons trouvé que l'intégrale

était égale à/(x), la fonction f(z) étant monodrome. monogène, finie et continue autour du point x; soit donc

( 486 ) On voit que f(x) a toujours une dérivée, car on peut ici différentier sous le signe /par rapport à x\ cette dérivée en a une à son tour et ainsi de suite, ce qui est une propriété précieuse des fonctions monodromes et monogènes.

Si, dans la formule (i), on pose z = x + re1^"1, elle devient

27r Jo

cette formule contient, comme Ton voit, un grand nombre d'intégrales définies. La formule (i) donne, en la différentiant,

ou, en posant z = re6^""1 -+- x9

- / /fx-+-n?V-') T7^: = ô /•(*)■

En appelant alors M le maximum du module de/(x) sur le cercle de rayon r décrit du point x comme centre, on a

OU

OU

«od,/i(Jr)<,-a-^-'<,Mf

__. /*mod./*(.r) M> =

Cette formule montre que, si toutes les dérivées de/(ar) ne sont pas constamment nulles, c'est-à-dire ûf(x) n'est

(487) pas une constante, on pourra toujours prendre r assez grand pour que M croisse au delà de toute limite; donc :

Théorème. — Une fonction monodromeet monogène devient jorcément infinie pour une valeur finie ou infinie de sa variable ,- donc aussi la considération de son inverse prouve quelle s'annule pour une valeur finie ou infinie de sa variable $ donc enfin V équation f(x) = o a nécessairement une racine.

Reprenons les formules

W ï*V-J ls~ *r- i.a...ity v "

m —7— AS '*='(*);

arc y — a J z — x la dernière peut s'écrire

ou, en vertu de (1),

^e dernier terme tend vers zéro pour n = 00 , pourvu que x — a soit assez petit, et Ton voit que, pour x = a, toutes les dérivées de f{x) ne sauraient être nulles, si f(x) n'est pas une constante. Supposons que les (n — 1) premières dérivées seulement soient nulles et que la nê

ièm*

(488 ) ne le soit pas, la formule précédente se réluit 5

le facteur de (x — a)* ne sera pas nul pour x = a, et l'on voit que, si y (a) est nul,/(x) sera de la forme

<b(x) restant fini pour x = a\ donc :

Théorème. — Une fonction monodrome et monogène h* a que des racines d'un ordre de multiplicité entier; il en est de même par suite de ses infinis.

Voici uue dernière proposition très-importante : Soit f'[z) la dérivée de f(z) ; les infinis de j * seront simples et se réduiront aux zéros et aux infinis de/ (z) . Soient au as, . • . les zéros def(z) contenus dans le contour C, a,, a3,... les infinis contenus dans le même contour supposés en nombre fini; alors

ty(z) n'étant plus ni nul ni infini dans le contour C-, prenons les logarithmes et différen lions, on aura

f(z) 2*z — a Âéz — a. ty[z) "

Multiplions par F(z), qui ne devient ni nul ni infini dans le contour C-, nous aurons, en intégrant le long de ce contour,

]= Ct^fpÙ As:Zmr{»)-lHt{*).

2ir y — i J J [zi

Si l'on fait F (s) = i, on trouve 2//i — Zn, c'est-à-dire la

différence entre le nombre des zéros et des infinis; maïs alors

z= Iog/(z) = 2m — In,

lo&/(*) = logmod./(z) — v— i arg./(«);

ainsi arr(Sm — 2«) est la quantité dont varie l'argument de f(z) le long du contour C, quand le point z effectue une révolution complète le long de ce contour.

Quand on prend F(z) = 2, on a

' Cf\z)z ,

= / —)r ^eiz= Ima — ïnx.

27ry^— I J J[Z)