THÉORÈMES DE CÂUCHY ET DE LÂCHENT

Nous terminerons ces considérations préliminaires en donnant, d'après Cauchy et le commandant Laurent, une nouvelle forme au théorème de Maclaurin.

Soitf(x) une fonction finie continue monodrome et monogène à l'intérieur d'un cercle de. rayon R décrit de l'origine comme centre. Elle sera dêveloppable par la formule de Maclaurin pour toute valeur de x comprise à l'intérieur du cercle en question.

En effet, si Ton décrit un cercle de rayon R' un peu plus petit que R de l'origine comme centre, on aura, en intégrant le long de ce cercle,

2ir\/ — I J * — x

pourvu que le point x soit situé dans son intérieur \ alors

dz -h . . •

le module de z sera plus grand que celui de a: et,

étant développé suivant les puissances de x9 on aura

J(x)z=z L f/(z)dz (L + 1+ — +...)

Or on sait que

2ff^— ij s""" 1.2.3.../*'

on aura donc

ce qu'il fallait prouver.

«Si la fonction f(x) est finie, continue, monodrome et monogène à l'intérieur d'une couronne circulaire de rayons R et R', ayant son centre à l'origine, elle sera développable pour toutes les valeurs de x comprises dans cette couronne en une double série procédant suivant les puissances entières ascendantes et descendantes de x.

En effet, soit y un signe d'intégration indiquant que

la variable reste sur un cercle de rayon A décrit de l'origine comme centre, soit r un peu plus petit que R, et r' un peu plus grand que R', la somme

(4gi )

sera égale à Tin légrale l * ' éprise le long d'un cercle

de rayon très-petit décrit autour du point x intérieur à la couronne; en sorte que, si Ton observe que celle-ci

est égale à 271 \j — if(x), on aura

ou bien, en observant que mod. z ^> mod. x et que niod.r'<mod.:c,

ce qui démontre le théorème.

Exemples. — log (1 H- x) est développable à l'intérieur d'un cercle de rayon 1 décrit de l'origine comme centre, mais il cesse d'être développable au delà comme Ton sait, et, en effet, pour x = — 1 , le logarithme de 1 -+- x est ibâni.

Le point critique de (1 — x)m est x = 1, c'est ce qui explique pourquoi la formule du binôme cesse d'avoir lieu quand le -module de x est supérieur à l'unité, etc.