REMARQUE CONCERNANT LES FONCTIONS PÉRIODIQUES

Une fonction f(x) possède la période » quand on a

/{* + »)=/(*) et, par suite, n étant entier,

e" possède évidemment la période w ; quand on donne

une valeur particulière à e * , il en résulte pour je une série de valeurs de la forme ar0 + nco, n désignant un entier et x0 un nombre bien déterminé. Si donc on considère une fonclioiiy(:r) monodrome quelconque possédant la période &>, elle pourra être considérée comme fonçai— ix

tion de y = e « et, si l'on se donne y, x ayant les valeurs x0 -+- n <ùyf(x) prendra les valeurs

Ainsi, y étant donné, f[x) aura une valeur unique et bien déterminée; il en résulte que f(x) est fonction monodrome de y.

Il résulte de là que toute fonction périodique monodrome possédant la période o> pourra se développer suivant les puissances ascendantes et descendantes

are y—

de ew à V intérieur de certaines couronnes circu-

laires.

Mais quand é * décrit un cercle, son module reste constant; or, si Ton pose

x = a -t- p v7— l » » = g + h si— i , il se réduit à

fM-A»

(x désignant une fonction linéaire de a et |3, et pour que cette expression reste constante, p doit rester constant; x décrit donc une droite, de direction fixe d'ail-

leurs, quand on fait varier le module de e « . Ainsi c'est entre deux droites parallèles que le développement

de f [x) sera possible, Tune de ces droites ou même toutes les deux pouvant s'éloigner à l'infini.

Ce théorème nous servira à jeter les fondements de la théorie des fonctions elliptiques.