NOTIONS SUR LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

Une fonction ;', définie par une équation de la forme

où f(X) y) désigne un polynôme entier en x et y, qui n'admet pas de diviseur entier, est ce que Ton appelle une /onction algébrique. L'équation qui la définit est dite irréductible.

Une fonction ainsi définie est susceptible d'autant de valeurs pour une même valeur de x qu'il y a d'unités dans le degré de y pris relativement à y\ mais ces valeurs ne peuvent pas être séparées les unes des autres et ne constituent qu'une seule et même fonction, ainsi que l'a démontré M. Puiseux.

i° Une fonction algébrique ne peut s'annuler que si le dernier terme de l'équation qui la définit s'annule, et,

par suite, elle n'a qu'un nombre limité de zéros. - est

défini par une équation algébrique que l'on sait former et n'admet, par suite, qu'un nombre limité de zéros; donc y n'admet qu'un nombre limité d'infinis qui sont les racines de l'équation obtenue en égalant à zéro le coefficient de la plus haute puissance de j- dans l'équation qui sert à le définir.

2° Nous admettrons que y est une fonction continue de je, excepté pour les points où y devient infini ou acquiert des valeurs telles que l'on ail à la fois

encore en ces points n'y a-t-il pas, à proprement parler, discontinuité, mais simplement indétermination d'une certaine espèce dont nous parlerons plus loin ; nous donnerons à ces points le nom de points critiques.

Nous supposons ce théorème connu du lecteur, et, en réalité, il est supposé connu de toutes les personnes qui s'occupent de Calcul différentiel ; il est impossible de prendre la dérivée d'une fonction implicite sans l'admettre.

3° La fonction algébrique j- admet une dérivée bien déterminée en tout point qui n'est pas critique : cela résulte de la règle de la différentialion des fonctions implicites, et Ton a

dx d x ' djr

expression finie et déterminée si -r- n'est pas nul.

4° La fonction algébrique j* est monodrome à Tintérieur de tout contour ne contenant pas de point critique. Considérons, en effet, un contour fermé C ne contenant aucun point critique ; supposons que la variable x décrive un certain chemin continu à l'intérieur de C, en partant du point x0 pour y revenir. Soient S ce chemin, y0 la valeur de y en x0 au départ, ely1 la valeur que prend y quand x revient en jr0. Si Ton n'apasjpt =^0» Vi ne pourra être qu'une des valeurs dey. Cela posé, déformons le chemin S en le réduisant à des dimensions de plus en plus petites. Quand ce chemin se sera, dans toutes ses parties, suffisamment rapproché de x0, les valeurs de y le long du contour S seront, en vertu de la continuité de yy aussi peu différentes que l'on voudra de^y©, et, par suite, différeront de yx d'une quantité finie, puisque, à l'intérieur du contour C dans lequel nous cheminons, les valeurs de j" sont nettement distinctes*, donc,

(495) quand le contour S sera devenu suffisamment petit, y reviendra en x0 avec sa valeur initiale y0. Mais, s'il n'en est pas toujours ainsi, il est clair que, pendant que le contour S se déforme, il arrive un moment où y revient encore en x0 avec la valeur yi différente de y0i tandis qu'un moment après il reviendra avec la valeur primitive TV Soient donc deux contours S0 et Sn infiniment voisins, ramenant y l'un avec la valeur y^ l'autre avec la valeur yt *, considérons deux mobiles parcourant ces contours en restant toujours infiniment voisins l'un de l'autre : en deux points infiniment voisins, y ne pourra avoir que des valeurs infiniment peu différentes. En effet, si l'on considère, à chaque instant, la différence des valeurs de y en deux points correspondants, cette différence, d'abord infiniment petite, restera telle, car elle varie d'une manière continue comme y% et elle ne saurait devenir finie que si l'on considère deux racines distinctes de l'équation j (x,y) = 05 mais, pour passer d'une valeur à une autre, y serait obligé de rompre la continuité, à moins que l'on ne soit précisément dans le voisinage d'un point critique où deux valeurs distinctes dey sont susceptibles de différer A infiniment peu l'une de l'autre pour une même valeur de x. Ainsi donc, y revient toujours en x0, avec la même valeur y0, si l'on ne sort pas du contour C. c. q. f. c.

Discussion ub la fonction \]x — a.

Il est intéressant d'étudier la manière dont les fonctions algébriques permutent leurs valeurs les unes dans les autres autour des points critiques: nous renverrons, pour cet objet, le lecteur à un Mémoire de M. Puiseux, inséré au t. XV du Journal de M. Liouville. Il suffira, en effet, pour le but que nous avons en vue, de discuter

les fonctions de la forme yX, où X représente un poly* nôme entier en x.

Commençons par la fonction y = \Jx — <7, dans laquelle a est une constante. Cette fonction a deux valeurs

-h ^x -— a et — y7* — a9

en chaque point égales et de signes contraires. Nous n'avons à considérer qu'un seul point critique, le point a pour lequel les deux valeurs de y deviennent égales à zéro. La fonction y ne cesse donc d'être monodrome qu'à l'intérieur d'un contour contenant le point a. Posons

re sera représenté par la droite qui va du point a au point x (la résultante de deux droites représentant, il ne faut pas l'oublier, la somme des imaginaires représentées par ces droites); on aura

Si le point a: décrit un contour fermé contenant le points,

la droite re joignant le point a au point x tournera en décrivant un angle total égal à a 7r$ la fonction

reviendra alors, quand a: reviendra au point de départ correspondant à 0 = 0O, avec la valeur

— yx — -a = r tf

Ainsi l'effet d'une rotation autour du point a est de changer le signe de la fonction y.