DISCUSSION DE LA FONCTION
Quand le point x tournera autour du point a, yjx — a changera de signe-, ainsi :
Quand la variable décrira un contour fermé contenant une des quantités a, b, . . . , /, la fonction reviendra au point de départ avec un changement de signe
Quand la variable décrira un contour fermé contenant un nombre pair de points critiques, un nombre
pair de facteurs ^x — a, \/x — 6, ... changeront de signes, et la fonction reviendra au point de départ avec sa valeur initiale; ce sera V inverse quand le contour contiendra un nombre impqir de points critiques.
Au Heu de décrire un contour fermé simple, la variable peut tourner plusieurs fois autour d'un ou de plusieurs points critiques ; mais ce cas complexe ne présentera aucune difficulté et se ramènera aux précédents.
Je suppose, par exemple, un contour ayant son origine en o et présentant la forme ci-dessous : quand la
ig- 6.
variable a suivi le chemin opts, la fonction arrive
Stiru. — An.% II. 32
en s avec une valeur que j'appellerai yn et quand x parcourt le chemin sqrs^y revient en s avec la valeur — yMJ en sorte que Ton pourrait supprimer la boucle sqrs eL partir de o avec la valeur — j^\ on pourrait de même supprimer la boucle uptu en partant avec la valeur initiale -\-JoS il reste alors le chemin optsqruo qui contient le point a et Ton revient en o avec la valeur — y0.
ÉTUDES DES PREMIÈRES TRANSCENDANTES QUE L'ON RENCONTRE DANS LE CALCUL INTÉGRAL.
Les fonctions entières s'intègrent immédiatement, les fonctions rationnelles s'intègrent en les décomposant en fractions simples : quand ces fractions simples sont de la
A forme , r > elles s'intègrent immédiatement: quand
elles sont de la forme -> elles ne s'intègrent plus au
moyen de signes algébriques, ou du moins on ne sait plus les intégrer de cette façon.
On rencontre aussi des fractions de la forme
Mx + N
mais, en adoptant les imaginaires dans le calcul, ces
A fractions se réduisent à la forme 7 r- •
(jc — af
L'intégrale de est la fonction logarithmique
bien étudiée dans les éléments et bien connue; on conçoit cependant que la découverte des logarithmes ait pu suivre celle du Calcul intégral, et il est intéressant de voir comment on aurait pu étudier les propriétés de la nouvelle fonction.
Et d'abord il y a lieu do se demander si l'intégrale de
engendre réellement une fonclion transcendante,
ou seulement une fonction réductible aux fonctions algébriques; nous allons voir, en étudiant ses propriétés, qu'elle constitue une fonction nouvelle. D'abord, en mettant à part le facteur A constant et remplaçant .r — a par xy on ramène cette intégrale à la forme
Posons
^dx , — = log.r,
le signe log étant employé pour représenter la nouvelle fonction (nous précisons notre intégrale avec la limite i et non zéro, afin qu'elle soit finie.)
Nous pouvons prouver : i° que logx n est pas monodrome et par suite ne peut pas être rationnel; 2° que logrr a une infinité de valeurs pour une même valeur de x, et qu'il ne saurait alors coïncider avec une fonction algébrique qui n'en a qu'un nombre limité.
Pour le prouver, observons que Ton peut aller du point i au point x7 soit directement par le chemin ix
Fig. 7.
vL/"
rccttligne, ce qui fournit la valeur que nous appellerons log:r, soit par tout autre chemin. La valeur de Tinté-
( 5oo ) grale prise le long d'un chemin qui, avec n, forme un contour fermé ne contenant pas l'origine où - est
înfinî, donnerait la même valeur logx; mais si, pour aller de i à x, on suit un chemin qui enveloppe le point o, tel que celui qui est figuré en pointillé, l'intégrale prise le long de ce contour, augmentée de l'intégrale prise le long den, sera égale à l'intégrale prise le long d'un cercle de rayon très-petit décrit autour du point o; on aura donc, en se rappelant que celle dernière est égale à ± 3 n ^ — i ,
logr = — 2?r v' — 1
Je me i s — 21 y — 1, parce que l'intégrale doit être prise dans le sens rétrograde; ou a donc dans ce cas
— = log X
Si, au contraire, la figure avait la disposition ci-dessous on aurait
FiB. S.
11 y a plus, si, au lieu de suivre un contour simple comme les deux précédents, on suit un contour entourant a, 3, 4» ■ - • lois l'origine, tel que celui ci-
(Soi ) dessous qui l'entoure trois fois, il est clair que l'on aura
dx
— =logj? -+- 2,4,6. • .ir y/ — 1 ; Fig. 9.
dans le cas de la figure, on a
I — = \ogjc -+- 6tt \l — 7.
Ainsi la valeur générale de l'intégrale considérée est
logjrztaX-ir ^ — 1 ,
h désignant un entier, et ces valeurs de logx sont inséparables les unes des autres; ainsi, quand le point x passe en a pour la seconde fois, l'intégrale y acquiert une valeur égale à la précédente augmentée de arc, et cela en vertu île la continuité ; en d'autres ternies, on ne pourrait assigner à \ogx une valeur déterminée en a qu'en rompant la continuité de cette fouclion. Si Ton considère l'équation
d.T. dy h— =0,
on en lire d'abord
ce que l'on peut écrire
(i) logx-Ho&r^oga,
a désignant une constante. Mais on en tire aussi
ydx -h xdy = o, ou
(2) xy = b*
b désignant une constante. Les formules (2) devant être identiques, faisons x = 1 \ (1) donnera \ogy = loga et (2) donnera y •=. i, ce qui exige que a = b. Des formules (1) et (2) on tire alors, en remplaçant b par a,
logx-f-log^ = log^,
ce qui est la propriété fondamentale de la fonction logarithmique.
La fonction inverse de log x sera représentée par e (x), en sorte que, si
y = log*-, on aura
la propriété fondamentale des logarithmes donne la propriété fondamentale des exponentielles
e[x-hy)=e[.r)e[y),
ce qui conduit à écrire
U comme Ton a
y désignant Tune des valeurs de logx. on a
la fonction e* est alors périodique et a pour période
aÀ-7Ty/ — i. De la formule
dx
dy=i:
on tire
dx
pétant le logarithme de x, on voit que la dérivée de la fonction exponentielle e* prise par rapport à y est cette fonction elle-même 5 on est alors conduit à représenter e* au moyen d'une série, et sa théorie s'achève comme dans les éléments.
On voit ainsi que la découverte de Neper eût été faife par les inventeurs du Calcul infinitésimal dès les débuts du calcul inverse.
DES DIVERS CHEMINS QUE PEUT SUIVRE LA VARIABLE DANS LA RECHERCHE DES INTÉGRALES DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES.
Toute fonction algébrique y étant monodrome à l'intérieur d'un contour ne contenant pas de point critique; son intégrale sera nulle le long d'un pareil contour ; donc :
i° L'intégrale prise le long d'un contour quelconque x9x pourra être remplacée par l'intégrale prise le long du contour rectiligne x0x, si entre ce contour et le contour donné il n'existe pas de point critique.
20 Si, à l'intérieur du contour C formé par le chemin rectiligne et le chemin donné, il existe un point critique a, on pourra remplacer le chemin donné par un autre allant de xQ vers un point a très-voisin du point critique sans sortir du contour C, tournant ensuite le long du cercle décrit de a comme centre avec aa pour rayon, revenant en a, puis en x0 par le chemin ctx0 in-
verse du chemin x0ol suivi tout à l'heure, enfin allant
par le chemin rectiligne de x0 à x. En effet, le nouveau
chemin et l'ancien ne comprennent entre eux aucun
point critique.
Fig. io.
Le chemin formé d'une ligne allant de x* au point a voisin du point critique a, tournant autour de ce point et revenant en x0 par la route déjà suivie pour aller de .r0, est ce que Ton appelle un lacet.
Nous avons figuré ci-dessus un lacet en séparant l'aller du retour pour bien montrer comment le lacet peut se substituer au contour C.
3° Si, mire le contour C formé par le chemin rectiligne et le contour donné, il existait plusieurs points critiques, on pourrait remplacer ce contour par une série de lacets suivis de la droite x0x.
4° Supposons que le contour d'intégration donné rencontre la droite x0xt enp^q.
On pourra remplacer le chemin x^lp par une série de lacets et par la droite x*p\ on est alors ramené au
( 5o5 ) chemin x0pmq, que l'on peui remplacer par «ne série . de lacets suivis de xq, et ainsi de suite; donc :
Théorème. — Tons les chemins que Von peut suivre pour aller de x0 en x peuvent être remplacés par une série de lacets ayant leurs origines et leurs extrémités en j0, suivis du contour rect.il igné x0x (*).
Nous dirons qu'un lacet unit deux valeurs yt et jtj quand ces deux valeurs de y se permutent Tune dans l'autre lorsque l'on suit ce lacet.
Mais nous préciserons encore davantage : en général, en suivant un lacet, on ne permute que deux valeurs de la fonction jr 5 toutefois il pourra se faire qu'en suivant un même lacet plusieurs fois de suite, on obtienne une permutation circulaire des valeurs y^y^ )'s, ... de y] nous considérerons comme distincts tous les lacets parcourus avec des valeurs initiales différentes dey. Ainsi, par exemple, si le point a est un point critique ordinaire, deux racines yé et yk se permuteront l'une dans l'autre en parcourant ce lacet; nous le supposerons double, mais seulement pour la commodité du langage, en sorte que, s'il est parcouru avec la valeur initiale yh nous le considérerons comme formant un premier lacet unissant yL à y*, et s'il est parcouru avec la valeur initiale^*, nous le considérerons comme un second lacet distinct du premier et unissant yk à r4-.
De même, si au point a trois valeurs yiy y-nyk se permutaient entre elles, on aurait à considérer le lacet correspondant comme triple : l'un des lacets simples unirait ïi^Jj et serait parcouru avec la valeur initiale yi9 et
(*) Il Ta sans dire que nous supposons que le chemin rectiligne x%x ne rencontre pas de point critique. S'il en rencontrait un, ce qui n'arri- ?era que dans des cas tout particuliers, il faudrait, pour l'exactitude du théorème, éviter ce point en déformant le contour rectilign^.
( 5o6 ) ainsi de suite. Ainsi, au mot lacet est attachée l'idée d'un chemin et l'idée d'une valeur initiale de y bien déterminée.
