DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES

Dès les débuts du Calcul intégral, on est arrêté par des difficultés insurmontables quand on veut calculer la fonction dont la dérivée dépend d'un radical carré recouvrant un polynôme d'un degré supérieur au second. Cette difficulté provient de ce que la fonction cherchée dépend de nouvelles transcendantes irréductibles, comme Ta prouvé M, Liouville, aux transcendantes étudiées dans les Eléments ou aux fonctions algébriques. Legendre, qui soupçonnait cette irréductibilité, s'est surtout attaché à étudier les propriétés analytiques des transcendantes les plus simples auxquelles conduit le Calcul intégral, et a créé la théorie des fonctions elliptiques.

On donne le nom tf intégrales elliptiques à des intégrales de forme simple, auxquelles on peut ramener les intégrales de la forme

(i) Y=fF(x,jr)d*f

où F(Xyj') désigne une fonction rationnelle de x et de jr9 et où y représente un radical de la forme

y = v/A.^ -f- Bx3 H- Car* + Dx -t- E,

A, B, C, D, E désignant des coefficients constants. Nous supposerons le polynôme placé sous le radical décomposé en facteurs, et nous aurons

jr = i/Q(x-a)(x-p][x-7)(x-i)f G désignant un nombre quelconque réel ou imaginaire.

On

simplifie la

formule

(1) en posant

on trouve alors

Xz=z

<J> (£, *î) désignant une fonction rationnelle de \ et de y, et y] désignant le radical

ï = ^G[fl — «-H*-:a)5J[a — p + (A--p;ï]....

Les puissances impaires de £ sous le radical disparaîtront si Ton pose

(* — a) ( * 0) + (fl . P) ( * a) ^ o , (« — 7) (6 — *) -4- (« —<?)(£ — 7) — o;

d'où Ton tire

lab — (a -f- ô)(a-t-p)-f-2ap = o, a«£ — (a+6)(7 + ^) 4- 27$ = o,

aft(7 -4-3) — 7^(« -4- p)' a -h p — 7 — 8

Ces équations montrent que a et b sont racines d'une équation du second degré facile à former. On pourra donc toujours supposer que la quantité placée sous le radical m ne contient que le carré et la quatrième puissance de la variable £.

Cette transformation semble tomber en défaut quand on a a-+-/3 — y — #=0; mais alors on a

y =z ijG[x> — (a + p)x H- ap][*' - (a H- p)x -+- 7*J.

( 5o8 ) et il suffit <lc poser

pour faire disparaître les puissances impaires de la variable.

Remarque 7. — Il est bon d'observer que, si le produit (x — ol)(x — P)(-t — y)[x — $) est réel, les quantités a et b pourront toujours être supposées réelles; en effet, la condition de réalité des racines de l'équation du second degré qui fournit a et & est

(ap ysy [ap(7 + *) — v*(a -*- P)](a -+- P - 7 - *)*>o.

Le premier membre de cette égalité s'annule pour a = y, a = 5, |3 = y, /3 = <î, et Ton constate facilement qu'il est égal à (a — y) (a — J)((3 — y) ((3 — S). Il est donc réel si a, |3, y, d sont réels. Il est encore réel si, ce que Ton peut supposer, a et (3 sont conjugués, et si y et d sont réels ou conjugués. Ainsi donc on peut toujours supposer a et b réels si

est un polynôme à coefficients réels.

Remarque II. — Si le polynôme placé sous le radical y n'était pas décomposé en facteurs, en remplaçant x par

et en annulant les coefficients de £ et £* sous le

radical, on obtiendrait la même simplification»

Remarque III. — Si l'on avait

jr = V 0 (.r — a) (ur — p J [x — 7),

en posant

( 5og ) on trouverait

4> désignant une fonction rationnelle de £ et de y).

Ainsi toute intégrale telle que V, dans laquelle y désigne un radical carré recouvrant un polynôme du troisième ou du quatrième degré, peut être ramenée à la forme

y désignant un radical de la forme

^Gfi -*-mx*)(i -h/îj»),

m et n désignant des constantes, et il est clair qu'en posant

on pourra ramener le radical à la forme

Posant alors

les intégrales que nous nous proposons d'étudier prendront la forme

Vr=/F(*,r)r*r,

F désignant toujours une fonction rationnelle. Nous verrons par la suite que la quantité A1, à laquelle on a donné le nom de module, peut toujours être censée réelle et moindre que l'unité»