RÉDUCTION DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES A DES TYPES SIMPLES

Reprenons l'intégrale (i) V=f?[x,y)dx%

dans laquelle nous avons vu que Ton pouvait supposer

jr = t/(l *')(! -/■»*'};

F(x,j) peut toujours être mis sous la forme y~ — |»

<f et 4* désignant deux fonctions entières de x et y^ mais une fonction entière de x et de y peut toujours être censée du premier degré en y, car y* est une fonction entière de x,y* est le produit de y par une fonction entière de x, etc. On peut donc poser

À, B, C, D désignant des polynômes entiers en x.

Si Ton multiplie les deux termes de cette fraction par C — Dy, elle prend la forme

F(*,/)=M + Nir,

M et N désignant deux fonctions rationnelles de x, et

N r* ' comme N/ = — — > on peut encore écrire

P désignant une nouvelle fonction rationnelle de x\ la formule (i) donne alors

La première intégrale s'obtient par des procédés Lieu

( 5.. ) connus et peut s'exprimer au moyen des logarithmes et

des fonctions rationnelles. Il reste, alors à étudier les intégrales de la forme

Je dis que Ton peut toujours supposer qu'il n'entre dans l'expression de P que des puissances paires de x; en effet, on peut poser

I + Lx'

H, K, I, L désignant des polynômes entiers en #2, et, par suite, on a

P peut donc être censé de la forme

M ■+- Nx

M, N, S désignant des polynômes entiers en x2. La formule (2) donne alors

TN dx

dx

La seconde intégrale, en posant x* = z, prend la forme

dz

oxif(z) est rationnel en z\ elle pourra donc s'obtenir par les procédés enseignés dans les Éléments du Calcul intégral. Il ne reste donc plus qu'à s'occuper des iutégrales de la forme (a), dans lesquelles P ne contient que des puissances paires de x.

La fonction P, étant décomposée en éléments simples,

(5.a) se composera de termes de la forme Ax2m et - — - - >

m, A et a désignant des constantes, et l'intégrale U se composera elle-même de termes réductibles aux formes

/xim , r dx dx, v = / — 7 J (x* — a

r\in

)my

L'intégrale u peut encore se simplifier, et Ton peut toujours supposer m = ooum-i : il suffit pour cela d'observer que l'on a

r n r-, ; i oxm H- bx*"-* -+- c.r*"-«

4x'—x/(i-x»)(, - x»x')j =— ^^-i-— (lXt

a9 A, c désignant des constantes que Ton déterminera eu faisant les calculs indiqués-, on en conclut la formule de réduction

— dr H- b I dx -hc I rfr,

/xvn — dx de proche en proche,

quand on connaîtra

/dr r**dxt

ilsulïïia pour cela d'y faire successivement m = 2, 3, .

Quanta l'intégrale v elle est, à un facteur constant près, la dérivée prise par rapport à a1 de celle que l'on obtient en supposant m = i.