DES TRANSCENDANTES DE LEGENDRE ET DE JACOBI
En définitive, les intégrales de la forme
f¥(x,y)dx,
où F désigne une fonction rationnelle de x et d'un radical carré recouvrant un polynôme du quatrième de-
(5.3) gré, peuvent se calculer au moyen des fondions algébriques, logarithmiques, circulaires, et au moyen de trois transcendantes nouvelles :
çx dx rx **dx
Ç dx
ou
/dr
La première est, comme on le verra, la plus importante : ce sont les trois intégrales elliptiques de première, de deuxième et de troisième espèce.
Legendre pose x = sincf; les trois intégrales précédentes deviennent alors, en prenant pour limites inférieures zéro,
'? do
et
/0 (i — a sin*ç ) ^ i — 4'sin y
la première était pour Legendre l'intégrale de première
espèce, l'intégrale / ^t — À1 sin* y dy était l'intégrale
de deuxième espèce, la troisième était l'intégrale de troisième espèce. L'intégrale de deuxième espèce représente l'arc d'ellipse exprimé en fonction de l'anomalie excentrique de son extrémité.
(j est ce que Legendre appelait Y amplitude des trois
Stcrm. — An., II. 33
intégrales, k porte le nom de module, a est le paramètre de l'intégrale de troisième espèce.
Legendre, dans son Traite des fonctions elliptiques, étudie surtout les propriétés des trois intégrales que nous venons de signaler, et indique le moyen d'en construire des Tables. Mais Abel et Jacobi, se plaçant à un point de vue beaucoup plus élevé, ont considéré les intégrales elliptiques comme des fonctions inverses; pour bien faire saisir la pensée qui a guidé ces géomètres dans leurs recherches, nous ferons observer que les logarithmes et les fonctions circulaires inverses pourraient être définies par les formules
logjr
C*dx rx dx = I — j arcsm.r= I :-^
et auraient certainement été étudiées avant l'exponentielle, le sinus, etc., si ces fonctions directes n'avaient pas été fournies par des considérations élémentaires. Le iilde l'induction devait laisser penser que l'intégrale
ne définissait pas une fonction aussi intéressante que son inverse.
