ÉTUDE DE L INTÉGRALE I
Avant d'étudier la fonction elliptique, il convient, pour la commodité de l'exposition, d'étudier l'intégrale un peu plus générale
__ Ç* dr
x est uue fonction évidemment continue de y9 tant que jr n'est égal à aucune des quantités a, (3, 7, i9 00 , et réciproquement j sera une fonction continue de x\ et, lors même que y passe par la valeur a par exemple, x reste continu. En effet, posant x=f(y), on a
vV - « vV - P) (> - 7) [x - *)
celte expression e3t finie comme Ton sait} 011 a aussi
Jf* « -h h «> r -i, Jo Vr— Wlr-p)Cr-7)(r — *)
et, par suite,
tfr 1
soient M une quantité dont le module reste supérieur à celui de — == — — - > e une quantité dont le
vV-PMr-ïHr-*)
module est au plus égal à 1 , on aura
Ja v\r-«
cette quantité est bien infiniment petite. Ainsi :
Théorème I. — La fonction x et, par suite, son inversey sont continues, excepté quand y ou xsont infinis.
Pour préciser le sens de la fonction x, il faut sup* poser que, pourj^ = o, le radical ait une valeur déterminée, que nous représenterons par -+- y/ap/c?, et quand je dis que, pour y =■ o, le radical a cette valeur, j'entends
parla que l'intégrale est engendrée avec la valeur H- yjafiyd qui pourra prendre au point o la valeur — yjxfiyd quand
(5.6) la variable y reviendra en ce point. Cela posé,
Théorème II. — La fonction y admet deux périodes .
En effet, les contours que Ton peut suivre pour engendrer l'intégrale x peuvent se ramener : i° au contour rectiligne oy $ a° à ce contour précédé de contours fermés aboutissant en o et formés de lacets.
Soient A,B,C, D les valeurs que prend l'intégrale autour des lacets relatifs aux points a, |3, y, î.
Appelons i la valeur que prend l'intégrale x quand le chemin que suit la variable y est le contour rectiligne oy; x pourra prendre les valeurs suivantes : i° la valeur i\ a* les valeurs A — i, B — i, C — /, D — i ' ( *).
En effet, par exemple, la variable y parcourant d'abord le lacet A dans le sens direct ou dans le sens rétrograde, x prend la valeur A, le radical revient en o avec sa valeur primitive changée de signe, la variable décrivant ensuite le chemin oy, l'intégrale prend le long de ce chemin la valeur — z, et l'intégrale totale se réduit à A — i,
3° En général, quel que soit le sens dans lequel on parcourt un lacet, la valeur de l'intégrale ne dépend que du signe du radical à l'entrée du lacet, et ce signe change à la sortie du lacet; il en résulte que, si la valeur initiale du radical est précédée du signe -h, la valeur générale de x sera
(*) L'intégrale le long d'un lacet est facile à calculer; supposons qu'il s'agisse du lacet relatif au point a, elle se composera de l'intégrale rectiligne (Ooc), de l'intégrale prise le long du chemin circulaire décrit autour de a, intégrale nulle, et de l'intégrale rectiligne (aO), laquelle est égale à ( O a) parce qu'elle est parcourue en sens inverse de ( Oa) et avec le signe — placé devant le radical. Ainsi A = a (Oa ) ; le radical, en effet, change de signe quand le point y tourne autour de a.
(5.7) le signe de i étant -4- s'il est précédé d'un nombre pair de termes, — s'il est précédé d'un nombre impair de termes ; de sorte que, si Ton pose
P = m,(A — B) + w,(A- C) -h iw,(A — D)
mâ(h — C) + mê[B — D)4-ot,(C— D),
mii ni2'> . • - . i7i6 étant des entiers positifs ou négatifs, les valeurs de x seront de la forme
que Ton peut simplifier. En effet, si Ton intègre
le long d'un cercle de rayon infini décrit de l'origine comme centre, on obtient un résultat nul, mais cette intégrale est aussi égale à la somme des intégrales prises successivement le long des quatre lacets; donc
si Ton pose
A — B = u, B — C— ex,
on aura
B = A — », C = A — » — ex, D=:A — B-hC — A — o?
A — B = gj, A — C=m4-gi, A — D — <j,
B— -C = cr, B — D = ct — », C— D = — ».
La quantité P est donc de la forme mtù -+- «cr, et les diverses valeurs de x de la forme
m» ■+- nxs H-/ ou iw» -f- /ïgj -h A — /. Les quantités m et n désignant des entiers quelconques,
(5i8) il résulte de là que, si l'on faitj' -=/'(t), on aura
(4) /(/WW4-/ICJ4- '*) = /(///w -4-Wnr ■+- A — /)=/(/' ^;
la fonction y admet donc les deux périodes o> et ty.
Si nous partageons le plan en une infinité de parallélogrammes, dont les côtés soient a) et tr, ces parallélo grammes porteront le nom de parallélogrammes despé riodes, et nous pourrons énoncer le théorème suivant :
Théorème III. — Dans chaque parallélogramme des périodes, la fonction y prend deux fois la même valeur pour deux valeurs distinctes de x*
On peut démontrer directement que la fonction y est monodrome dans toute l'étendue du plan. En effet, si le point j' se meut dans une portion du plan qui ne contient pas des points critiques, x reste fonction monodron;e de 7, et l'équation
*Jl/-M.?'-7)(/-*)
fournit une série de valeurs de x comprises dans un certain contour C. Réciproquement, la racine y de celte équation ne pourra cesser d'être monodrome qu'autour des points où y acquerrait des valeurs multiples ou autour desquels le premier membic de l'équation cesserait d'être monodrome ou fini par rapport ky\ or, la dérivée du premier membre de notre équation relative à y né s'annule que pour y = oo \ les seuls points oiij' pourrait cesser d'être monodrome correspondent donc à ; = a, (5,7,5 et 00, Posons donc
dv dz
-— = 25 — 5 d x dx
la formule (A) deviendra
2 fft -- — X — O.
La fonction s ne cesse évidemment pas d'être monodrome autour du point z = o, et, par suite, y ne cesse pas d'être monodrome autour du point a (a, (3, y sont, bien entendu, supposés différents les uns des autres).
Si Ton veut étudier ce qui se passe autour du point x = £, pour lequel j* = oo , on posera
on aura alors, au lieu de la formule (A),
«/oo
— - — - — — . .—=rr= X ~ O j
et, en raisonnant comme plus haut, on voit que cette équation, pour y = oo ou pour z = o, ne cesse pas d'être monodrome par rapport à x.
Nous verrons plus loin une démonstration lumineuse de ces résultats, mais il était nécessaire de présenter ces considérations pour faire comprendre l'esprit qui nous guide dans nos recherches.
Notre but dans ce paragraphe était de montrer comment on pouvait être conduit à concevoir des fonctions possédant deux périodes.
ÉTUDE ET DISCUSSION DE LA FONCTION SÎll am X*
Considérons l'intégrale
Ç* dy
qui est la plus simple de celles auxquelles se ramènent
les intégrales que nous avons considérées plus haut
Legendre posait
y = sin ?;.
il obtenait alors la relation
Jo V-
dy
A* sin2 y
ç était ce qu'il appelait l'amplitude de l'intégrale x. Alors, en posant y = amx, on a
y = sinamx;
le nom de sinanur est resté à y considéré comme fonction de x. Nous adopterons la notation de Gudermann, plus simple que la précédente* due à Jacobi, et nous
aurons
y = sin ara .t = sn-r ,
\/ i — ;*'r:cosamj^: eno: ,
y i — h2 y* ~ dnx, r
rzr tangam x = tnjr.
Nous reviendrons d'ailleurs sur ces formules pour en préciser le sens et déterminer le signe qui convient a chaque radical. Dans ce qui va suivre, h sera quelconque, mais, dans la pratique, k sera généralement léel et moindre que l'unité.
D'après ce qu'on a vu au paragraphe précédent : i° La fonction sxix sera continue, monodrome et monogène dans toute l'étendue du plan.
a° Elle possédera deux périodes, Tune
r rfy f-' àr
*;o \[i-y')[i-*2y2) Jo y/[i-y2)[i — k2y2)
correspondant aux deux lacets successifs et relatifs aux points critiques — i et 4- i . Nous l'appellerons 4&;
( 5aI )
nous observerons qu'elle est réelle quand A est réel, et d'ailleurs moindre que l'unité en valeur absolue,
J0 VU-j'H»-^)'
l'autre période est
A désignant, pour abréger, le radical ; on pcnt la représenter par 2K' y/ — i , en posant
rv=r=/
Si l'on fait
on trouve
/» est ce que Ton appelle le module,
hf est le module complémentaire,
K est Y intégrale complète,
K' est Y intégrale complète complémentaire.
Ainsi les côtés du parallélogramme des périodes sont
4Ket aK'vC^T.
3° La fonction snx passe deux fois parla même valeur dans le parallélogramme, et, d'après la discussion faite au paragraphe précédent,
sn [iJL. — x) = su x.
4° La fonction sna: s'annule en particulier deux fois dans chaque parallélogramme, et comme on a évidem-
ment sno = o, les zéros de snx sont donnés par les formules o et 2K, ou, plus généralement,
\ . v ,, . \ ou îKm + 2K/11V — '•
2(2/71 -hi)K -h2K'/îy — i )
5° Cherchons les infinis de snx. L'un d'eux sera donné par la formule
f °° dr /*+" dy
a = I -'- ou 2«- -— 9
et Ton peut supposer que le contour d'intégration soit rectiligne en laissant d'un môme côté de lui-même les
points critiques H- 1 et 4-75 et, de l'autre côté, — 1 et
— -7', mais un tel contour peut être remplacé par un
demi-cercle de rayon infini décrit sur lui-même comme diamètre, à la condition d'y adjoindre les deux lacets relatifs aux points critiques. Or le contour circulaire donne une intégrale nulle-, on a donc
et, par suite,
a^KV=l, et sn(K-hK'v/^T)=-l.
Ainsi l'un des infinis de snx est K/ \/ — 1, et, comme»
sn(2K — x) = sna:, un autre infini sera 2K — K \/ — 1. En général, les infinis de snx seront
4/mK-+ (2/i-t-i)K'v/— 7 J
2(2/W-hl)K.-h(2«-r I)K y;— I J v ;
( 523 ) 6° On a, comme il est facile de le voir,
snx =' — sn( — x).
7° snK'y — i étant infini, posons, dans l'équation
y = 7- » x = K/ sj — i -f- * : nous aurons
d'où nous concluons, z s'annulant avec f,
« = ±:snf = zhsn( — K'v^T-t-j:) = dzsn (k'v7— "i H- *)» et, par suite,
or pour i=Kon trouve -r : donc
sn ( K' y7— i -+• x ) — ^ .
x ' A" sn a?
8° Enfin Ton a
sn(K) = i, sn (K -+• K'/— 0 = j.m
