SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES

La discussion faite au paragraphe précédent nous a révélé l'existence de fonctions monodromes et monogènes possédant deux périodes. Ces fonctions (et les fonctions elliptiques sont les plus simples d'entre elles) jouissent de propriétés communes qui peuvent en simplifier l'étude; nous commencerons par faire connaître ces propriétés.

Sans doute une bonne partie de la théorie des fonctions elliptiques pourrait être faite, et même a été édifiée avant la découverte, toute récente, de ces pro-

( 5a4 ) piiétés; maïs leur connaissance explique bien des méthodes d'investigation qui pourraient, sans cela, être regardées comme des artifices de calcul heureux, mais peu propres à éclairer sur la méthode d'invention.

Théorème I. — // n'existe pas de fonction monodrome et monogène possédant deux périodes réelles et distinctes.

En effet, si la fonction f[ x) possédait les deux périodes fe> et cj, on aurait

/(x-f- /m» -f- nts) ~f(x)f

m et n désignant deux entiers quelconques. Or, si od et ct sont commensurables, soit a leur plus grande commune mesure et

Si Ton po.se

mk -4- ni — i ,

cette équation aura toujours une solution, car h et / peuvent être censés premiers entre eux. On aura donc

mko. -\- nla=. a. ou m w -f- n o = a, par suite

a serait donc une période et &) et uy seraient ses multiples. Si w et xj sont incommensurables, on pourra toujours satisfaire à la formule

/ww -f- nu = «, où £ est très-petit. Il suffit, en effet, pour cela, de réduire - en fraction continue : soit- une réduite quel-

conque, —f la réduite suivante; — sera compris entre ces

deux réduites dont la différence —, tend vers zéro. On

QO

pourra donc poser, en supposant o < 6 < i ,

» q qq

et

r p ô ~i Tm7-+- np ^^n

»-t-/iu==:w| m-\-n h« — -, 1 =w I 1 7 !

L 9 <il J L 9 ?'/J

Or on peut, en supposant- irréductible (ce qui a lieu

pour les réduites d'une fraction continue), prendre mq h- /i/> = i ', mais m et n sont le numérateur et le dé-

nominateur de la réduite qui précède - \ donc -j- < i

et mw + nose réduit à une quantité moindre que — » c'est-à-dire aussi petite que Ton veut e. On aurait donc

/(•*-*- 1)=/(*) OU /(j?-f-t)-~/(*)=rO,

c étant aussi petit que l'on veut. La fonction

admettrait donc une infinité de racines s, 2e, 3e,... dans un espace fini du plan; l'intégrale

rfc

serait donc infinie, ce qui est absurde. Il est évident que deux périodes dont le rapport est réel ne peuvent pas coexister non plus. En effet, soit r le rapport des périodes -, on pourra poser

et l'on aura

( 526 ) ou

en désignant par F ( - j la fonction f[ x) ; x étant quelconque, on aurait

F(r+ i) + F(jp), F(*+r) = F(«).

et la fonction F aurait les périodes réelles i et r.

Théorème II. — Une fonction monodrome, monogène et continue ne saurait avoir plus de deux périodes.

Eu effet, soient a-+-b\j — i,a'+i'\p-i, a"+ b" y] — i trois périodes de la fonction y (x), s'il est possible. Je dis que Ton pourra toujours trouver trois entiers m, m!, m", tels que Ton ait

a" — ma + m'a1 + mnan < i , 6" = 016 + 01'*' +//t"0" <«,

£ étant un nombre si petit que Ton voudra. En effet, considérons la quantité

a*bm — bma" = m{ab" — ba") + m' [a'bn — //«");

on pourra toujours, comme on Ta vu dans la démonstration du théorème précédent, choisir m et ml de telle sorte que amVf — V" an soit moindre qu'une quantité donnée, et même de telle sorte que Ton ait

a» ab»-ba" ,a'b'-Vam^3 *-bp ou m -p +m b" <J

c'est-à-dire, en valeur absolue,

maïs m et m' ayant été ainsi déterminés, on pourra toujours choisir m" de telle sorte que Ton ait en valeur

absolue

b* mb ,V i

•p ou ■& + '" v + m <V

et, par conséquent,

bma" i

On pourra donc, en vertu de (i), prendre

(a7) désignant la valeur absolue de a", ou, en définitive,

prendre al" <i — -• Or, de (a), on tire &'"< — -: ainsi

on pourra prendre am et 4/jr/ moindres en valeur absolue que les demi-valeurs absolues de a" et 6". Cela étant, considérons les quantités

atr — n'a' -h n'"a" -h nmjF9

b" = n'b, + n"b"-hnwbm'J

on pourra choisir les entiers w', ti", nm de telle sorte que l'on ait en valeur absolue à1" < — » &1* <[— . On

pourra déterminer d'une façon analogue des nombres

air bir

aT<T — j b" <1 — >et ainsi de suite; mais a"', a1*, ar, . . .

sont des fonctions linéaires à coefficients entiers de a, a*, a*; de même V9 i,T, iT, . . . sont des fonctions linéaires à coefficients entiers de &, A', ft"; ces fonctions linéaires vont en décroissant, au moins aussi rapidement que les termes de la progression géométrique de

raison --, donc elles peuvent être prises moindres que

toute quantité donnée. c. Q. F. n.

( 5a8 ) Si donc la fonction /Y x) admettait Ips trois périodes a-\-byJ — i, a! -h i' \J — i, af-v-V1^ — i, elle admettrait une période a(l) -+-4W >J — i de module aussi petit que l'on voudrait; ./*(«* -H e) — /(x)==z° aurait donc une infinité de racines dans un espace limité, ce qui est absurde. 11 n'y aurait d'exception à cette conclusion que si l'un des nombres a, et son correspondant bt s'annulaient rigoureusement. Mais alors, en appelant a), eu', o/, pour abréger, les trois périodes et en désignant pur ira, m', m" trois entiers, on aurait

(î) mtù -t-wi'w' -h m*(ù" = o.

Soient n\ le plus grand commun diviseur de m et m', et /*, y! les quotients de m et ni par m\ -, si Ton pose

ffft) -I- /l'a/ — w,,

on pourra toujours choisir n et n! de telle sorte que le déterminant fin' — nyl soit égala i pour des valeurs entières de n et n'\ alors &> et &/ s'exprimeront en fonctions linéaires de co, et a>ft9 à coefficients entiers. On aura ensuite, au lieu de (i),

Divisant les deux membres de cette formule par le plus grand commun diviseur de m\ et de m", elle prend la forme

r t . un

et si l'on prend n\ y!r — nttpt -- 1 » °e qui est possible, et si Ton pose

&/[ et co" seront des multiples de o>\ . En résumé, a> et o* sont fonctions linéaires et à coefficients entiers dew', et de o)t, c'est-à-dire dew, et de wt. Il en est de même

( 5*9 ) de «"*, nos trois périodes se réduisent donc à deux de la

formepui" 4- qtùu p et q désignant des entiers.