THÉORÈME DE M. H ERMITE

Théorème. — L'intégrale d'une fonction doublement périodique prise le long d'un parallélogramme de périodes est nulle.

Ce théorème, ou plutôt cette remarque fondamentale, est due à M. Hermîte relie est presque évidente. En effet, le long de deux côtés opposés, la fonction prend les mêmes valeurs, mais la différentielle de la variable y prend des valeurs égales et de signes contraires; la somme des intégrales prises le long des côtés opposés est donc nulle, et il en est de même de l'intégrale totale.

Première conséquence. — Une fonction doublement périodique s'annule au moins une fois et devient infinie au moins une fois dans chaque parallélogramme des périodes, car sans quoi elle ne deviendrait jamais ni nulle ni infinie; mais le théorème de M. Hermite nous apprend que dans chaque parallélogramme il y a au moins deux infinis et deux zéros.

En effet, si dans un parallélogramme il n'y avait qu'un infini, l'intégrale prise le long du parallélogramme serait égale au résidu relatif à cet infini multiplié par 2 7r \j — 1 . Or ce résidu ne saurait être nul; donc il ne saurait y avoir un seul infini dans le parallélogramme : il ne saurait non plus y avoir un seul zéro, caria fonction inverse n'aurait qu'un seul infini.

Deuxième conséquence. — Dans chaque parallélogramme, il y a autant de zéros que d'infinis.

En effet, soit f{z) une fonction à deux périodes,

: y-j— - aura les mêmes périodes 5 en l'intégrant

air y1 — 1 /(*J

Stcrm. — An., II. 34

le long d'un parallélogramme, on doit trouver zéro, ou la différence entre le nombre des zéros et des infinis de f(z) : cette différence est donc nulle.

Troisième conséquence. — En intégrant

le long du parallélogramme des périodes, et en appelant ci> et a les périodes, on trouve la différence entre la somme des zéros et celle des infinis contenus dans ce parallélogramme; elle est

La première intégrale est prise le long de la période u, et la seconde le long de la période m; en effectuant, on a

ou^en appelant m et n des entiers,

:=[ologi — wlogi]= ma -+- /îw;

2ffy' — i

cette quantité est une période.

Quàtuième conséquence. — Une fonction double ment périodique, qui admet n infinis, ou, ce qui revient au même, n zéros dans un parallélogramme de périodes, passe aussi n fois par la même valeur a à l'intérieur de ce parallélogramme.

En effet, soit/(:r) une telle fonction, /(x) — a aura aussi n infinis et, par suite, n zéros; donc/(x) passe n fois par la valeur a.

Une fonction doublement périodique qui possède

n infinis dans un parallélogramme élémentaire est dite d'ordre n.

La somme des valeurs de la variable X, pour lesquelles f(x) prend la même valeur, est constante à des multiples des périodes près; en effet, d'après ce que l'on a vu (troisième conséquence), f{z) — a est nul pour n valeurs de z qui, à un multiple des périodes près, ont une somme égale à celle des infinis de y* (x).

Il n'y a pas de fonctions du premier ordre, puisque toute fonction à deux périodes a au moins deux infinis dans chaque parallélogramme élémentaire, et les fonctions doublement périodiques les plus simples sont an moins du second ordre.

Nous allons maintenant essayer d'établir directement l'existence des fonctions monodrdmes, monogènes, continues et doublement périodiques.