REMARQUES RELATIVES AUX PRODUITS INFINIS

Nous allons bientôt avoir à considérer des produits de la forme

»w= n n (,+^^jw)'

et il est bon de montrer dès à présent que la valeur du produit en question dépend de la manière dont on l'effectue, c'est-à-dire, en définitive, de Tordre des facteurs. Considérons, en effet, m et n comme les coordonnées d'un point, et faisons le produit de tous les facteurs correspondant à des valeurs de m et n intérieures à une courbe Ct et de tous les facteurs correspondant à des valeurs de m et n intérieures à une courbe Ca. Soient P,

( 532 ) et P, les produits, on aura

P, 11 \ tf-h/w«-h nta'J

m et n désignant les valeurs entières comprises entre les deux contours Ct et Ct. On en tire

logP,— logP,

~2log(H - ;)

\ a-t-mw-H/ïw/

=xy ï 7-ïy(

a H- ni» -H /iw

On voit que logP4 — logP, peut être infini 5 maïs il peut aussi être fini : c'est ce qui arrivera quand

; sera fini. C'est ce qui arrivera encore

lorsque, ^ ' étant nul, parce que les deux

contours ont pour centre l'origine y * rr-

r & , Jmé(a + m* -h*w')»

ne sera pas nul : ce cas remarquable a été examiné par M. Cayley. En désignant par A la valeur de cette somme, on aura, en négligeant des termes infiniment

petits,

A r' logP, — log P, = -— ,

el, par suite,

rr-=€ f

L'ordre dans lequel on effectue le produit, même en prenant autant de termes positifs que de termes négatifs dans chaque produit partiel, peut influer sur le résultat

Aar*

en introduisant une exponentielle de la forme e ;

c'est ce qui nous permettra d'expliquer un paradoxe que nous rencontrerons plus loin.