SUR LES FONCTIONS AUXILIAIRES DE JACOBI

Essayons maintenant de former directement une fonction monodrome et monogène admettant les périodes

4K et aK'^ — i de snx. Si Ton observe que l'on a

OU

înx=rlim I I ( i ) pour/ï=oo,

en supposant i remplacé par x, on sera tenté de

poser

nf' - — =)

snx

**l 2K/» + (2/l+l)KV- iJ

en remplaçant î '- -7= par x9 ou tout au

moins y aura-t-il lieu de se demander si le second membre de cette formule ne serait pas doublement périodique. On voit d'ailleurs que ce second membre a été formé de manière à s'annuler et à devenir infini en même temps que snx. Malheureusement, d après ce que l'on a vu au paragraphe précédent, les deux termes du quotient que nous considérons sont divergents, et ce quotient n'est pas bien déterminé- auoi qu'il en soit, en groupant convc-

nablement les termes, on peut obtenir une fonction bien définie qu'il convient d'étudier.

Considérons, en particulier, le produit

"V 2Km-+-2&//iy/^7j ou •

2Ko4-2K/ov/~i>/

doit être remplacé par x.

En faisant d'abord varier m seul, il devient

naKm -h aK'/i \/— i — x 2Kiw-f-2K'/iv/::=1ï

2K';? s/— f — x -py f aR^ y7 — i — jt\

ou, eu observant que #TT ( i ) est égal à - sinftjr,

8,n TK *

nx

Quand n = o, il faut remplacer ce produit par sin — > et le produit cherché peut s'écrire

— TT g — Te /

. TTJT

sin

en posant, pour abréger, q = e . On peut encore écrire

( 535 ) ce produit ainsi :

«il

sin -— - Il ; -t »

ou, en groupant les termes correspondant à des valeurs de n égales, mais de signes contraires,

(i) sin¥ JI

4gm M

i — a^cos— — V- gtH

En traitant le second produit ou le dénominateur de sn a: comme on a traité le premier, on le trouve successivement égal à

. ('in -+- i)KV— »— * sin i - n

on

. (î» + i)KV-i «ni — *

! *f »»"cos — - 4- 7,(,"+*)

Les deux résultats auxquels nous venons de parvenir sont d'ailleurs convergents si, ce que l'on peut toujours supposer, le module de q est moindre que l'unité, c'est-à-

K/ dire si la partie réelle de— est positive.

La méthode même que nous avons suivie pour former le numérateur et le dénominateur de snx montre que ces termes ont des valeurs qui dépendent de l'ordre de leurs facteurs-, et, en effet, si nous considérons, par exemple, le dénominateur qui, à un facteur constant près, est

ï(*)= fi ' — ag^'cos^ + ^+'M,

il a manifestement la période 4^' que possédait sn.r, mais il n'a pas la période 2 iK! qu'il aurait eue en laissant d'abord m constant pour faire varier n ; et il n'a certainement pas la période 21K/, sans quoi il serait doublement périodique sans devenir infini. Quoi qu'il en soit, il est intéressant de rechercher ce que devient la fonction <f(x) quand on change x en x -\- aK'y/ — 1 ; on a

•„^ a? -4- a K' 1/— 1 .,.»^,i I I — 2qin+l COS7C =^ h qMn+D

jr-*-*KV-l , — A / r + lK'^î

-*—TT-^)( .... «=iîFr-,'Cn)

ou, si l'on veut,

1 — q-\e ) y(x):\i — qe * /

c'est-à-dire

Le numérateur de la valeur de sn x, que nous représenterons par Q(.z), satisfait, comme on peut le vérifier, à la même équation ; dès lors il est facile de voir que la fonc-

tion définie par le rapport —■ — - admet non-seulement la

période 4K- commune à 8 et à <f , mais aussi la période 2Ky — 1. En effet, de la formule (A) et de

eOr-t-aKV-i)^ — 0(#> * '

ou déduit

G(j?-h2KV~)0(x)

Il resterait a prouver en toute rigueur que sni= -4—; ; c'est ce qui serait évident, si Ton pouvait admettre que représente une fonction continue, monodrome et

monogène. En effet, snx et -1 — \ ayant les mêmes zéros

et les mêmes infinis seraient égaux à un facteur constant près, qu'il serait facile après cela de calculer. Nous ne tarderons pas à prouver que Ton a bien à un facteur constant près snx = -y— U jusqu'alors nous considérerons

ce fait comme très-probable.

Les fonctions telles que 9 et y sont ce que nous appellerons des fonctions elliptiques auxiliaires.