CONSIDÉRATIONS NOUVELLES SUR LES FONCTIONS AUXILIAIRES DE JACOBI
Nous voilà conduits à étudier les fonctions auxiliaires évidemment plus simples que les fonctions doublement périodiques qu'elles engendrent; mais, sous forme de produit, elles paraissent peu maniables, et nous allons essayer de les développer en série.
En définitive, il est à peu près établi que sn# (et Ton verrait de même que cnx, dnx) peut être considéré comme quotient de deux fonctions admettant Tune ses zéros, l'autre ses infinis. Ces fonctions n'ont qu'une période, mais elles se reproduisent, à un facteur commun près, quand on augmente leur variable d'une quantité
convenablement choisie et qui sera une seconde période de leur quotient.
Désignons alors par 0(x) une fonction possédant la période w, et développable par la formule de Fourier
suivant les puissances de ew , partageons le plan en parallélogrammes de côtés co et &, et proposons-nous de faire en sorte que dans chaque parallélogramme la fonction 0 possède p zéros.
Le nombre fi de ces zéros devra être égal k l'inté-
grale de == » prise le long du périmètre d'un
airy^— i M*)
parallélogramme, et cela quel que soit le point que Ton
prendra pour sommet, si Ton veut que les zéros soiem
régulièrement distribués dans le plan. Or la valeur que
prend notre intégrale le long des côtés parallèles à zj est
nulle, puisque la fonction, admettant la période co, prend
des valeurs égales sur ces côtés, tandis que dx y prend
des valeurs égales et de signes contraires. On devra donc
avoir, en intégrant seulement le long des deux autres
côtés,
et cela quel que soit x $ cette équation détermine 0. On peut poser
et déterminer les coefficients indéterminés a, (3, y, . . . par l'équation (1)5 cette équation n'en détermine qu'un seul, et nous supposerons alors, pour simplifier, {3 = o* y = o, .... La formule (1) donne alors
( 539) d'où
et, en remplaçant a, (3, y,... par leurs valeurs dans l'équation (a), on a
ô'(jc) O'(x-f-cr) airf*^/ — i
ô(x) ~~ 9(ar-f- tar)~~ w
ou, en intégrant,
l0*e(* + *]- » l* + «Ji
c désignant une constante. On en déduit
Ainsi il suffira d'assujettir la fonction 0 (x) aux conditions
\ G(tf-i-sj) =zB(x)e u ,
pour obtenir une fonction telle que nous la désirons. La première formule est satisfaite en posant
OU
Nous allons déterminer <p(/i) de manière à satistaire à la seconde condition (3); on a
— [nx + nw + t(n)l
■ nx
Si Ton pose alors
(5) f (n) — f [n -hp) 4-w© = — Cfi,
on aura
ou
6(* -4- ct) = 0(.t)<? • ,
et les formules (3) auront lieu. L'équation aux différences (5') ne détermine pas complètement f(x) : ellelaisse arbitraires <p(i), 9(2), . . . , f(fx). En appelant <j(/?/) une de ces quantités, on a
ç(m -h \l) = f (m) -h cp -h tfto,
?(/W 4-2p)=?(»I -h p) 4- c/x 4- (#» 4-fi)cT,
y (m -4- /p) = f(m 4-1 — 1 p) 4- cp -+- (/» 4- / — 1 p)o, d'où l'on tire
v f (j»4-/p) = y(m) 4-/f*e4-o-(2/ii H- *> — f»),
et0(.r) prend la forme suivante, en remplaçant <f(n) dans (4) par sa valeur
i(x)=€fnti(x) 4-«»C|>el(a:) 4-. . - 4- *(*-•> «,*,(*),
où Ton a posé
Donc :
i° Les fonctions monodromes et monogènes satis-
( 54 1 ) faisant aux formules
sont fonctions linéaires et homogènes de p d'entre elles ;
a° Ces fonctions existent réellement, car la série (6)
est convergente si la partie imaginaire de — est posi-
tive, ce que Von peut toujours supposer. En effet, alors la racine iièmt du iièm* terme de la série (6) tend vers zéro;
3° Ces fonctions ont p zéros dans le parallélogramme des péiiodes &>, gt.
Enfin le quotient de deux quelconques de ces fonctions a évidemment les périodes o> et a, ce qui prouve, a priori, l'existence des fonctions à deux périodes arbitraires et à p zéros ou du /aième ordre.
