DES FONCTIONS DU SECOND ORDRE

Les fonctions du second ordre satisfont aux équations

Îe(*r -*-») = ©(*), ___

B[x -f-cjj = B[x)e w

Elles sont au nombre de deux distinctes 0O et 0t, la solution la plus générale étant Ao0o-f- Ai0t, A0 et At désignant deux constantes arbitraires. On a d'ailleurs

(3) e,(*)=2^l,,,"-M,'+,ic+''''1

Les fonctions qui servent de numérateur et de dénominateur à snx sont du second ordre par rapport aux périodes aK/y/ — i et 4&. En effet, ces fonctions satisfont aux relations

( 543 ) Or la seconde de ces relations peut s'écrire

Ces formules coïncideront donc avec (i),en posant

le numérateur et le dénominateur de snar seront donc de la forme Ao0o(#) -h Ai0t(x), et Ton aura

l5L;[(îi4-l)x + «iK4-tiK,V^Î(i-»-l)l

0l(x)=2etK

Groupons les termes correspondant à des valeurs de i égales et de signes contraires, et posons toujours

g = e K , nous aurons

. itx t 21TJT

ô0(jr) = i-a$r» COS — -+-*?* C08~kT +

lIZX

-h ( — Ij'a^COS —

«,(*) = v7- i ^«n ^ - 2?'</+,>sin-- + . . .

iag'f+O sin^ — ' h . . .

Jacobi désigne la fonction 0O par 0(x)j quant à la

fonction 0t, nous la remplacerons par -= 6i9 ce qui lui

donne plus de symétrie, et nous la représenterons encore, avec Jacobi, par H(x); nous aurons alors

C (*) = 1-2? cos^+a^cos^ + ...+ ( -i^cos^...

Du reste, les fonctions les plus générâtes satisfaisant aux formules (4) sont de la forme A0(x) 4-BH(a:). Aux fonctions 0 et H on adjoint aujourd'hui les fouclions 0(x + K), que Ton désigne par &i(x)J et H(x-hK), que l'on désigne par Ht(jr). Si, dans les formules (5), on remplace x par x-f-K, on trouve alors

QJx = I -f- 20COS— - -4-20«COS — -*-...,

H,!* )= 2O*C0S— — H- 2<74COS — - -f- . . . . x ' * 2K Â 2K

Il existe entre les fonctions H et 0 une relation re-

marquable : quand on change x en x -\-¥J^ — i , 0 devient égal à ^ — iH(x)e *k ,cequeFonvérifie sans peine en remplaçant x par x -+-K\ — i dans S(x) ou, ce qui revient au même, dans son égal d0(x) exprimé par la formule (5).

Voici le détail du calcul :

e(x)=ile *

ry/ Vlix + tiK + lPlcV-O

©(•r-HK/y — i)=z2,e **

__ -^-ÎCtx + KV-l) -7î

^i(ix+Ky^î)

= </-ic ** H(«).

On vérifiera facilement, d'une manière analogue, les formules non démontrées, que nous résumons dans le tableau suivant :

Il]

i*x M 7.VX iSirx

W [xj = r— 27COS — -f- 274COS-~ 2q*C0S

e,(x)=1 + 2ycos^ + 27<cos^f + 2l7.cos3^f +

**■ K. K (*) = 2r/«sin — — 20 4 sm —-+- 2? * sin i— ...t

»(*)= 2r/4cOS— : -f- 2<74coS — -- -f- la 4 COS *

[2] |e (*+K) = e»(*). H(* + K) = Bl(*)f ( ©,(*-*- K) = 0 (*); H,(x+R)=- H(x).

[3] ( e (*+aK)=®(*)' H (*H-aK)=— H (*), ( 01(j:+2K) = 01(x)j H,(x-h2K)=:-nl(x),

(41 4K- est UQe période de 0, 0,, H, H,.

e (* + aK'v/~) = -e(.*)r:L^U'+E'v':rï},

] e,(o:+2K'v/=rT)=e1(^)c-1^:i,(x+K'v'=ï), PJ '1 . —

H (*+aIt'^7) = -H (*

0 (.r + K.'V':ri") = V/:rTu(.r)c~^i(lx + KV=T)1

0,(x + R'^)=H,(.r)r^(,'+SV-'))

H (* + K'v'~j=^/=^e(*)^1"ïï:i;,'+KVrT,,

i Hl(* -t- K'y^Tj = e.(*)«-"^r(,'+"v-,).

[1 !»(-*) = »(*), H(-.r) = — h(*), le,t-*J = e,(*), U, (-•*•) = h (x).

Stcim. — y/n., II. 35

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS 0, 0t, H, Hj = O.

On a évidemment

cl, en vertu des formules [3] du tableau n° 1, comme

D(jr + 2K) = -H(4 on a aussi

H (x) n'ayant que deux zéros dans le parallélogramme

des périodes 4 K et a K/ ^ — i, les zéros seront de la forme suivante :

4/R-4-2/K,vT=i et (4y4-2)K-h2/K/v/— i, ou, si Ton veut,

(H) 2yK + 2/KW-i,

/ et/ désignant deux entiers. Maïs, d'après [a], H, (x) est égal à H (x-f-K); donc H, (x-|-K) est nul quand x est de la forme précédente ; donc enfin les zéros de H, sont de la forme

(0) 2yKH-(2/,+ i)K#v/—i;

ceux de Qt sont compris, en vertu des mêmes formules [6], dans celle-ci :

[8] J «le H (*)... 2yK + 2/KV~,

de e, (*)... (2/+,)R+(a/+I)K,|CT7i

de H, (*) . . (2y + ,jK + a/K'v^.