HOUVELLES DÉFINITIONS DES FONCTIONS 0. H 0 H

Les fonctions 0„ H„ 0, H satisfont aux formules

e (*4-2K) = e(jc),

HJ(x-h2K) = -H1(x),

n,(* + 2K' v/rr) = H^jr^**1'^

( H (x+2RV^)==-H(x)r!T1(j+K'vCï't

Si Ion ajoute que ces quatre fonctions sont synectiques et par suite, développâmes en séries d'exponentielles, elles seront déterminées à un facteur constant près par ces quatre formules. Ce fait est déjà établi à égard de la fonction 0l5 nous allons le prouver pour les autres fonctions. l

Lorsque Ton a

et que la fonction «(*) est svneclique, ces équations

( 548 ) imposent à la fonction 0 la forme

A.8ê(jr) 4- A,0,(x)-h . .. ■+■ A^G^f*),

où A01 Ai, ..., A^j sont des constantes et où 0O, 0j, .., désignent des solutions de (5). Si donc on fait fx = 2.

w = 4K, ci = 2K'y/ — i, c = K'y/ — i, on aura

( G(x-hîlKV— i) = G (jr)ff k ,

ei 0(#) sera de la forme A090 -H At0|. Or les deux fonctions ©i (x) et Ht(x) satisfont à ces deux équations; leur solution générale sera donc

Ao0i(*) -h A,H,(jr).

Si Ton ajoute que 0(x) s'annule pour une valeur

donnée K 4- K'^/ — i, il faudra que A, = o, et la fonction 0 sera définie à un facteur près.

Ainsi les fonctions Gl9 H^ G, H sont définies par leurs zéros et par les formules telles que (6), que Ton peut déduire de (i), (a), (3), (4)? niais elles ne sont définies qu'à un facteur constant près (on reconnaît dans H et 0 les valeurs qui figuraient en numérateur et en dénominateur dans snor).