SUR UNE FORMULE DE CAUCDY. NOUVELLES EXPRESSIONS

DE 0, H, 0j, Hi EN PRODUITS.

Posons Nous aurons évidemment

Vi ' V ; 1 -t- qz I -hf*»+»Z-i

( 549) c'est-à-dire

(2) F(q*z)(qz H- q*"+*) = F(*)(I -f- f *"-+»*).

Cette équation constitue une propriété de la fonction F(s) qui va nous servir à la développer. F (s) est de la forme

(3) t F(^) = A0H- AtC-s-i-^-i)

Remplaçons dans (2) F (5) par cette valeur, nous aurons

[Ao + &i(qiZ + q-ïz) + ... + Aa+1(q*n+*zn+i-hq-*n-lZ-n-l)](qz-+-q*n+*) = [Ao-hA1(^-h^-i)-h...-+-Art4.1(z»+1-h^-'l-1)](i-t-yï,,-»'sz),

et, en égalant de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de s,

A0? -4- Aif*»+* = A0?2n+3-+- Ai,

A 1 çr3 H- As ^rï«+« = A ! q*n+* -h Aj,

ou bien

A0(? — y2"+3) = A^i — ?**+*), Ai(gr> — y»«-»-») = As(i — qin+*),

Or on connaît A*+l ; il est égal à

qqzq* ... y*»+* = £i-*-»-K..+(in+t>,

et l'on tire des formules précédentes

An = «t-*-n-.«-M*»+i> v v MI y ;• • «i* y ; Supposons q<.\, alors pour /i = 00 on aura A0 =

Ai = ?A0, A, = q*Au ...,

( 55o ) et, par suite, en égalant les valeurs (i) et (3) deF(s),

Telle est la formule de Cauchy, quand on y fait s = e K , et quand on observe qu'alors

ÎT|XJf Z«* -4- S""'1 = 2 COS ~- »

elle donne

(x -H27COS — 4-<7a)(i 4- 27*cos— • -4-ç*;. . .