DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

L'équation

dx dy

vV - *»7(i->*») vV -x>) (» - **/')

qui devient, par les substitutions x = sin<p , Jr= sin^S

, , dv dû

v ' y7! — Aa shV? y7! — A'sin'^

admet pour intégrale C* dx f dx

mais on peut lui trouver, comme l'ont prouvé Euler et Lagrange, une intégrale algébrique. Posons, à cet 'effet,

( 563 ) avec Lagrange,

VI— *2sin'<p y^i — xasin^ ou

puis

asin»i}i,

on aura

î(l + â) = \/,-Xîsini

Hï-ï)=)/-*"L

[ a \tit dt)~~ y '-«=»••--

* = y/i - * sin> £±i + y/, * sin'^I, 5=^i-*»sin'^L2 y/I*,rin»tzi,

d'où Ton tire

ou enGn

Mais, en differentiant (3), on a

*tf*y — X-'sinycos? r/y

* " |/.-i'sin> 57 = - *' sin* «t.

— = — A'sin^cos^

d'où Ton tire, par addition et soustraction,

-£ = — k\smpcosq,

— ~ = — **siD£COS/?.

De (6) et (7), on tire

d}p cosq d*q cos/7

dpdq sin? dpdq siu/»

d*p cosq dq d*q cospdp

dp suif dq sinp

= asin<7, — = *smp,

a et a' désignant deux constantes qui doivent rentrer Tune dans l'autre. En remplaçant p et q par leurs valeurs dans ces formules, on a

(V^i — Aasin'<p -f- y/i — ^asina>}» = asin(ç — i|>), \/\ — A*sin'f — v^i — A-'sin2>|»=:a'sin(f H-^).

Ce sont là deux intégrales de la formule (1)*, mais, en éliminant dt entre les deux formules précédentes, on obtient une nouvelle intégrale. En effet, on a

— r— = -r-r- — ou a sinp dp =ias\n a dq y aswq a'&inp r * *

et, en intégrant,

acos/7 = a'cosfl -+- a",

%n étant une nouvelle constante, et Ton a

(9) acos(y -+- ^) = a'cos(ç — i|>) 4- a".

Or, on peut mettre l'intégrale de la formule (i) sous la forme

fio) r dy ç* ^ - r ^

fx désignant une constante à laquelle se réduit y pour <j/ = o. Si, dans les formules (8) et (9), on fait ^ = 0, on a

^1 — A'sin'f* -+- 1 = 1

xsinjx,

^1 — X2sin2f* — 1 =:

x' sin ft,

acosp = a'cosp -4-

On en tire

- X'sin'p -+- 1 f \/ï

9 oc ^^ sin/x

— A-'stn'p — 1

sin a |

- ^sin'pt -f- 1 1/1

: COSa

sinjA

— X2sinau — ?

: ! COÎ

SIDfA

w 2 COS ut

sin/x

En portant dans la formule (9) ces valeurs de a, a', a^ on a

i/i — X-asin*u-+-' , ,.

- : - coa (©-*-$)

sinp w

v/,^sin>~i 2co9fA

smp. w T/ sinp

et, en effectuant,

(1 1) cos<pcos^ — y^i — *3sin2fAsin? sio^J» = cosp.

Cette formule est une des intégrales les plus célèbres de F équation (1) -, les formules (8) en fournissent deux

autres

[ \/i — X'siu'y -4- \/i — X-'sin*^

s/i — X'sin'u-hi . , IA

sm /x v T T '

y/i — Xasin'y — \/i — /•' sin2^

= ; *- sm (y + +),

sin /x v T T '

identiques au fond à la formule (î i). Maintenant, si Ton fait

•/o v^' — /•* siii'o Jo \/i — A-2sina«Ji

la formule (io) donnera 1 "t* H p.

o \^i — X*sui2p donc

y = aina, j = amè, p = am(fl — £).

Les formules (i i) et (la) donneront alors

(i3) cn<?cnèdn(a — b) — snasn£ = cn(a — b)f

dn(a — b) H- i , dna — dnb = — — - ^ — isnacnb — snbcna).

sn (a — b) x >

j j l dn(a — b) — i ,

dna + dno = — *—. '-r- — (snacna -+- snacnal.

sn [a — *) '

Si nous posons, un instant, dn (a — b) =y9 sn (a — b)=xx nous aurons, au lieu de ces dernières formules,

x(dn« — dnb) = [y -f- i)(snacn£ — sn6cna),

jc(dna H-dn£)==(.r — i)(snacn£ + sn6cna),

xdnn — jrsnacnb = — snbcna,

xdnb — ysnbcna = — snacn6«

On en tire

,. sn'flcn^A — sn'&cn'tf

sn [a — b) = — - »

' dn&cn&sn/z — dnacnasnp

. , ,x sn6dn£cna — snadnacnb

dn[a -+- 0) = .

dn6cnl>sna — dnacnasnb

Si Ton multiplie haut et bas ces deux formules par l'expression conjuguée de leur dénominateur, on a, en observant que sn'acn'i — sn'fecn'a est égal à sn*a — sn*i,

(i4) sn («*) = . i,^,^,;. '

(i5) dn[a-b) =

i — X2sn2«sna£

k2snasnbcnacnb + dnadnb i — X,2sn'asn20