SUR LES PÉRIODES ÉLÉMENTAIRES

Soit/(z) une fonction doublement périodique. Considérons les points M00 et M]0 qui représentent les imaginaires z0 et «o + w, &) désignant une période de f[z). On peut toujours supposer que o> soit la plus petite période d'argument égal à l'argument de w; car il n'existe pas deux périodes distinctes de même argument; toutes sont multiples de l'une d'elles, que Ton peut appeler eu. Soit oune période distincte de w, et supposons-la aussi la plus petite de celles qui possèdent son argument. Soit Moi le point qui représente l'imaginaire z0-f- tj; sur les droites M00 M10 et M00 M0J, on peut construire un parallélogramme que Ton pourra considérer comme un parallélogramme des périodes; on lui donne le nom de parallélogramme élémentaire, si aucun des points de son aire joints à M00 ne fournit une nouvelle période.

11 est clair que le parallélogramme élémentaire peut se former en prenant la période co pour base et en faisant

mouvoir le côté M0oMioi pris pour base, parallèlement à

lui-même, jusqu'à ce qu'il rencontre un point M01, tel

que M00M0i soit une période.

Soient o> et gj deux périodes élémentaires; a/ et tj'deux

nouvelles périodes ; il faudra nécessairement que Ton

ait

/ »' = m a -+- nu,

| Gj'=/?/«-f- «'©,

m et n9 m' et n! désignant des entiers \ car une période quelconque s'obtiendra en joignant le point M00 à l'un des points de croisement Mwn des droites formant le réseau des parallélogrammes des périodes &>, zj. Pour que les périodes &>', gj' puissent former un nouveau parallélogramme élémentaire, il faut que met n soient premiers entre eux, ainsi que ni et n' . En effet, si m et n avaient le diviseur commun £, en posant m = dm!f, n = $nff, on aurait

et y serait une période •, g/ ne saurait donc être une période élémentaire-, mais a> et gt doivent s'exprimer en co' et a' sous les formes

zj = jx'm'H- v' gj',

ce qui exige que le déterminant du système (i) divise wgj7 — n'uf et md — m'w', c'est-à-dire /i, n', /n et /wf. Or, m et n étant premiers entre eux, le déterminant est égal à l'unité, et l'on a

mn' — nui =±I.

Soit

u = a'-h b'yj— i,

*/ = ma -+- na! -f- \/ — i(/»£ -h /2&'),

cx'= m'a+ria' -h ^^î[m'b H- /»' £'),

(569) Taire du second parallélogramme des périodes est

[ma + na')(m'b' -h n'b') — [m'a -+-*V) [ma-\-nb')

= aV - ba\

ou

Les aires des parallélogrammes élémentaires sont égales.

SUR LA FORME GÉNÉRALE DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉ- RIODIQUES, ET LEUR EXPRESSION EN FONCTION DE l'lNE

d'elles.

Théorème I. — H existe toujours une fonction doublement périodique admettant deux périodes données, deux zéros donnés et deux infinis donnés, pourvu que la somme des zéros soit égale à la somme des infinis à des multiples des périodes près.

En effet, nous avons vu qu'il existait deux fonctions distinctes (f% et<p, satisfaisant aux formules

tv^T

l[x-\-tj) =zy(x)e w

et que la solution la plus générale de ces équations était

Ces fonctions cpt et cpt ont chacune deux zéros dans le parallélogramme des périodes <*> et a, ainsi que la fonction <p. Si nous divisons <pt par cf, ou si nous divisons Ai9i + At(pi par B,^ H- BjO>f> Bt et B, désignant des constantes différentes de A, et A, , nous obtiendrons une fonction doublement périodique j (x). Soient a, b ses

zéros, cl et (3 ses inflnis; considérons l'expression

elle n'est plus infinie pour x = a ou x = j3, mais elle l'est quand on pose # = a' •, elle admet en outre le zéro a'. Mais la fonction f(x-\- s) — f(a'~hs)i outre le zéro x = cd, en possède un autre /3', tout en conservant les infinis x = « — 5, x=(3 — s. On doit donc avoir, en observant que la somme des zéros est égale à celle des infinis,

équation dans laquelle on peut choisir 5, de telle sorte que (3' ait une valeur donnée. L'expression (i) admettra alors deux infinis donnés a', (3', le zéro donné a' et par suite un autre zéro b\ tel que a'-+- |3'=a'-+- V \ enfin le coefficient À permettra de prendre la fonction (î) égale à une quantité donnée différente de zéro pour une valeur donnée de x.

Théorème II. — // existe une fonction possédant les périodes tù et u, les zéros au a,, . . . , an et les infinis at, *u • • • i <*n satisfaisant à la relation

En effet, soit Ft [x) une fonction aux périodes &>, nr, admettant les zéros at et &t et les infinis av et ai9 bt étant déterminé par la formule

at -h £i ^ at -f- a,.

Soît F,(x) une fonction aux mêmes périodes ayant pour zéros a, et b% et pour infinis a8 et bi9 .... Soit Fn__, (x) une fonction aux mêmes périodes admettant les zéros

(*) Le signe s est employé a la place de = pour indiquer que Ton néglige des multiples des périodes.

(57i ) an-\ et ^»-t et les infinis fe„, et a„, tels que

«»-i -+- £«-i = *»+ £«-i- La fonction

F,(*)F,(jt) ...F,(*)

aura les périodes co, tj* les zéros al9 a„ . . . , ûb-i* i„i et les infinis a,, at, . . . , aM; mais on aura

*i + «i 4- . . . 4- tf»-. 4- ^n-i s «i 4- «a 4- . . . -+- a«— i 4- a„.

Théorème III. — Deux jonctions doublement périodiques d'ordre fini dont les périodes w et cr, &>' et cr* satisfont aux relations

tj

m et m' désignant des nombres entiers; en d'autres termes y deux Jonctions u, •>, dont les parallélogrammes élémentaires ont leurs côtés commensurables et dirigés dans le même sens, sont fonctions algébriques l'une de l'autre.

En effet, soient u Tordre de u, et v Tordre de v. Le parallélogramme de u, comme celui de y, tiendra un nombre exact de fois dans le parallélogramme ayant pour côtés II et II, le premier mn = M fois, le second in'n'zzz N fois. Il en résulte que, à chaque valeur de u, correspondront, dans le parallélogramme 12, II, un nombre M[x de valeurs de la variable z, et par suite Mfi valeurs de v\ donc v est lié à u par une équation algébrique de degré Mp en v. On verrait de même qu'elle est de degré Nv en u\ car u et v n'ont que des nombres limités de zéros et d'infinis et restent d'ailleurs monogènes et continues Tune par rapport à l'autre.

Théorème IV. — Une jonction d'ordre n est liée à sa dérivée par une équation du degré n, par rapport à sa dérivée, et de degré a/ï par rapport à la fonction*

( 57» ) En effet, soit u une fonction aux périodes w etw; sa dérivée admet les mêmes périodes, mais les infinis de la dérivée sont en général en nombre double de celui de la fonction*, car chaque infini de la fonction, lorsqu'il est simple, devient double dans la dérivée ; en tout cas, l'ordre de la dérivée sera compris entre n -h i et a/i. En vertu du théorème précédent, il existera entre u et il une relation algébrique d'ordre n en vl et d'ordre /*' en m, n-\- i£rc/52/i, «/n'étant infini que si u est infini; le coefficient de ufn pourra être pris égal à l'unité. À une même valeur de u correspondent n valeurs de z dont la

somme est constante, et par suite n valeurs de — = -, »

1 du u'

dont la somme est nulle ; donc le coefficient de u! est nul.

Par exemple, si u est du second ordre et a deux infinis

distincts, on aura

U désignant un polynôme du quatrième degré. Si u a un infini double, U sera seulement du troisième degré. Ce dernier théorème est de M. Méray.