EN ÉLÉMENTS SIMPLES

Soient F (x) une fonction aux périodes o> et cy, et a f, &,, «,, . . . ses infinis. Soit 0 (x) une fonction auxiliaire satisfaisant aux relations

on aura

( 573 ) Considérons maintenant l'intégrale

aîT^—i e(« — x)

prise le long d'un parallélogramme des périodes. Le long des côtés parallèles à t?, les valeurs de l'intégrale se détruiront, et il restera a intégrer le long des deux autres côtés, ce qui donnera, en appelant p une arbitraire,

■;= I F s — ï tLdz,

résultat indépendant de x et de /?, que nous désignerons par C. Or, l'intégrale considérée est aussi égale à la

somme des résidus de F(s) ~ *• Les résidus relatifs

0(z XJ

à 0(z — x) sont, en appelant al9as, a89. . . les zéros de

F(*H-*,)f F(*-t-«,), ..., F(x + ^); ceux relatifs à F(z) sont

si les infinis a sont simples, et Ton a

A,-= lim(x — a)F(x) pour x = a.

En général, si l'on pose

on aura, pour résidu de t (z) -r-) h

En résumé, on aura

Supposons /x = i et a== o, on aura, au lieu de celle formule,

et F(x) se trouve décomposé ainsi :

Cette formule donne F (x) décomposée en éléments simples, tous intégrables au moyen de la fonction 0, ce qui démontre la possibilité d'intégrer les fonctions à deux périodes (du moins à l'aide des fonctions auxiliaires); mais le mode de décomposition dont il vient d'être question présente encore une foule d'autres applications que M. Hermite, auquel nous devons la théorie que nous venons d'exposer, a fait connaître.

Nous allons montrer immédiatement comment les intégrales de deuxième et de troisième espèce se ramènent par les considérations précédentes aux fonctions 0 et H de Jacobi.

La fonction de seconde espèce

quand on y fait z = snx, devient, à un facteur constant k* près,

fk*sn7xdv.

C'est cette intégrale que nous allons étudier. L'intégrale de troisième espèce

(575) devient, pour s = sn xt

(*' J i — n'sn'x1

nous la remplacerons par

Xagn a en a dn a sn'.?

I — A^sn'asn'a:

en posant 71' = A'sn1 a et en observant que F intégrale (a) ne diffère de celle-ci que par une fonction linéaire de snf# et par un facteur constant.

ÉTUDE DE LA FONCTION Z[x).

La fonction

Z(*) = / X^sn1^^

est évidemment monodrome, car les résidus de sii'jr sont nuls 5 nous allons le vérifier.

Décomposons, par la méthode de M. Hermite, snfx en éléments simples, cette fonction ayant pour périodes

aK [puisque sn(x+ aK) = — snx] et aK'^ — x. Evaluons l'intégrale

(i) ===== I sn'« — 7^ ±d%

le long d'un parallélogramme de côtés aK et aK/y/ — i; le long des côtés verticaux, le résultat de l'intégration est nul; le long des côtés horizontaux, le résultat est

sn7z

<fz.

. (576) En vertu de la formule

l'intégrale considérée se réduit à

- / sn* z-rdz = — - I srfzr/zi

2j« K *KJ0

nous désignerons celte quantité par C. Maisrintégrale(i) est aussi égale à la somme des résidus de la fonction placée sous le signe J\ le résidu relatif au point x est

sn2x \ calculons celui qui est relatif au point K'^ — i.

Posons pour cela z = ¥Jy/ — i -+- 7/ 5 nous aurons

sn'fK'i/— 1 -f- h) \ % [

1 JH'(K'y/^-.r) rH'(RV~-x)T)<

ci par suite le coefficient de -7 ou le résidu cherché est

\\x\'{yJsI~\— x)~]' A

rrr(KV£7-x)T

Si l'on observe que

H^—l — *)""" el-*) + aK> Notre résidu devient

ire,(-*n'ire'(*)-|'

(. 577 ) On a donc enfin

C = sn'x -+-

i r?iifiT

*'Le(*)J'

ou, en intégrant, en multipliant par À1 et en posant

telle est l'expression de Z(.r), monodrome comme Ton voit. On en déduit

(a) • £Z(x)^=^-logjg,

et Ton constate que la fonction

est inonodrome également. M. Weierslrass la désigne par le symbole Al x. Il désigne par AliX, AljX, Al8x les produits de Alx par snx, cnx, dnx.

La constante f est susceptible de prendre une forme remarquable. En effet, en tlifféientiant (2), on a

et, en diflférentiant encore,

&"'.k)&(x) — .(V'frl sn*.r = l r

Si l'on fait alors x = o, on a