ÉTUDE DE L'INTÉGRALE ELLIPTIQUE DE TROISIÈME ESPECE

On peut parfois éviter la méthode de décomposition donnée plus haut. En voici un exemple : La formule [i4] donne

on peut Técrire

e [x-ha 0 [x — a) = x ' / ' i — J'sn'-rsn1*). v ' x ' 0*(o) v '

On en déduit immédiatement

i — Aasn*tf sn1* = — i-i — \. . ', ; •

En prenant les dérivées logarithmiques des deux membres par rapport à a, on trouve (en observant que s n'a = dnaena),

— 2*2sntf enrt dnasn'-r e'(i + fl) ©'(•* — a) ®'{a)

i — A2si\2asi\7x e{x-ha) 0(x — a) 0(«)

Si Ton change les signes et que Ton intègre de zéro à jr,

on trouve

/%x ÀHnacnai\nasn7x 0'(a) i, 0(x — a)

f dx = x — — - H loi! — -, r •

' i — *2sn3rtsn2x &[a) 2 c0(x-f-«)

Cette intégrale n'est pas tout à fait l'intégrale de troisième espèce de Legendrc, mais il est clair qu'elle s'y ramène aisément. Jacobi la désigne par Il(.r, a). Ainsi l'on a

II) ni.r,fl) = jf-i-i +- og-7 f-

( 579 ) On en conclut, en changeant x en a et a en x, puis en

retranchant,

n(-r, a) — nfrt, *) = x • — «— — f .

On peut d'ailleurs s'assurer que les valeurs des logarithmes se sont détruites, en observant que l'on doit avoir une identité pour x = o, a = o.

C'est dans l'égalité précédente que consiste Fiehange du paramètre et de V argument, proposition généralisée dans la théorie des fonctions abéliennes. On peut aussi écrire

II(x, a) — n(a, x] = xZ[a) — aZ(x).

EXPRESSION D'UNE FONCTION DOUBLEMENT PÉRIODIQUE AU MOYEN D'UNE FONCTION DU SECOND ORDRE AUX MÊMES PÉRIODES. THÉORÈME DE LIOU VILLE.

So\l f(x) une fonction monodrorae et monogène du second ordre aux périodes wct u ; soient a et 5 — a ses infinis, s désignant la quantité constante à laquelle se réduit la somme des valeurs de z pour lesquelles/ (z) prend une valeur donnée dans un même parallélogramme. Soit F(z) une fonction quelconque aux mêmes périodes &>, tj; soient (3,, (3,, . . . , (3p ses infinis. La fonc-

lion .. . j,. x intégrée le long d'un parallélogramme

des périodes donne un résultat nul : la somme de ses résidus est donc nulle.

La somme des résidus relatifs aux infinis x et s — x

de 771 Ti~\ est

ou bien

en observant que, f(x) étant égal &f(s — j:))w/'(jr)doit être égal et de signe contraire hf(s — x). La somme des résidus relatifs à F(jt) étant alors représentée par

on aura

r r F(z)<lz

le signe F placé au-dessous du signe f indiquant qu'on ne doit intégrer qu'autour des inGnis de F (2). Si Ton considère en second lieu la fonction

son intégrale prise le long d'un parallélogramme sera encore nulle, et il en sera de même de la somme de ses

résidus. Or la somme des résidus relatifs à y. — -

est égale à

F(*) + F(*-*)-.F(a)- F(*-«), et Ton a par suite

ou hion

F(r)-i- F(* — jr) = F(a)-hF(* — «)

( 58 1 ) La comparaison de celle formule avec (i) donne

îF(xj = F(j)+F(i-«)

r{z)[f'{x)+f'[*]\dz

it\l — I */F

2irV-i*/F /(*) — /(*) ou bien encore

/ aF(ar) = F(«)-t-F(* — a)

( ^2-u^-Oï^-1 L ( ' A*)-A?) J

en posant F (z) = (* — ?)^(5), [a désignant le degré de multiplicité de l'infini [3. Quand (jl = i , le symbole

V — T -^ — T doit être supprimé.

La formule (a) montre que toute fonction aux périodes w, u peut s'exprimer rationnellement au moyen de la fonction du second ordre f et de sa dérivée.

On voit, en outre, que cette dérivée rC entrera que sous forme linéaire*

Ce théorème est du à M. Liouville, mais l'expression (2) explicite de F, que nous venons de donner, n'est, je crois, pas encore connue; du moins on ne la trouve pas dans le Traité de MM. Briol et Bouquet.

Remarque. — La théorie précédente tomberait en défaut si F(x) et f(x) avaient des inGnis communs, maison tournerait facilement la difficulté en développant F(jc) divisé par une puissance convenablement choisie dey"(.r).

APPLICATION DES CONSIDÉRATIONS PRÉCÉDENTES AU PROBLÈME DIT DE LA MULTIPLICATION.

Le problème de la multiplication des fonctions elliptiques a pour but de faire connaître snmxy cnmx:

dn m x en fonction de su;r, en xt dm?. Notre formule (a) du paragraphe précédent résout cette question plus simplement et plus complètement qu'on ne Pavait fait jusqu'ici.

Soient k le module de snx, 4& et 2K'^i ses périodes, m un nombre entier : snm(x — a) admet évidemment les mêmes périodes. Construisons le parallélogramme des périodes, de telle sorte que ses côtés coïncident avec Taxe des x et Taxe des y positifs, puis déplaçons infiniment peu ce parallélogramme, en plaçant le sommet primitivement à l'origine, dans l'angle des coordonnées négatives.

Les infinis de snx sontK'y/ — 1 et aR-r K/^ — i, ceux de snm[x — a) sont

'=*-!- (2/ + ,) ^ L + ( ,y + ,) JL,

'tu ' m

ici j variant de zéro km — 1. En faisant j = aK, la formule (2) du paragraphe précédent donne