sn m[x — a ) = sn//i ( K/ \l — 1 — a

(j\ ] -4-sn/w'K/Y/— 1 H- aK. — ")

, v ■ • 1 / . sn'.r -f- su' z

-+- 2 rcsidu.sn/w(z — a) - -.

sn.r — sn*

Le résidu relatif à un infini (3' s'obtiendra en cherchant la limite de

/0, . sn'.r -t- sn'p' z sn w ( S' — « -4- 3 ] —

vr ; snx — snp'

= Zsn[(2/+i)KV^ + iv+i)2K + /n^^±-iî^'

sn* — sn£

— 1 sn'.r + sn'B'

Àsn//j* sn-r — snp

Cette limite est

i al

__ t sn' x 4- sn' p fan sn.r — snp'

L'infini $!' conduit au résidu

i sn'.r -+- sn']** km snx — snjj"

La formule (i) devient ainsi 2sn/;/(x — a)

sn'* + sn' I *-L±± KV~+ /,- -f- a

sn'.r — sn' — K' v7 — i -h (2/ -+- 1 )

sn.r — sn ! K' yj— t -+- 2/ H- 1) —

En faisant a = o, on a la formule de la mulriplicaliou pour le sinus amplitude. On peut vérifier la formule précédente en prenant m = 1 ; on a alors oksn(x — a)

sn x-\- sn'(K'v/^ 1 ■+- a) sn' v -h sn'(K'v/~ + îK + «)

sn.r — sn (K'^—i -H a) sna? — sn(k'/ — 1 -t- 2K -ha)

et si Ton observe que sn'x = cnxdnj,

en

Or-hKV— 0=— \/~

tln.r

dn(.

sn (a: -f- KV-i) = -r—">

Xsna:

011 trouve

sn(j: — a) =

cnadntf snjr — cnjrdnxsn/?

1 — Â-Jsn2xsuaa

Ainsi notre méthode donne aussi l'addition des fonctions elliptiques.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur la multiplication. La division aurait pour but de calculer sn - ■.

en > •■■ en fonction de snx, cnx, dn.r Sans

entrer dans des détails à ce sujet, disons seulement <]if Abel a démontré que les équations d'où dépend la division des fonctions elliptiques sonteomme celles d'où dépend la division des fonctions circulaires, résolubles par radicaux.