HK

snze

snx :

o SE

m-cV*-1 îK

SE

A.— / snz* ,h rfz,

on trouve, au moyen de la formule sn (a K -hx) = — snjr, H- I ( — snz)* 8K </*

x,h-2K mi;V/-l

sn«[i — (— i)m]<? *K '</«

L'intégrale Am étant indépendante de x0, on peut supposer x0 un peu plus petit que zéro. L'intégrale étant prise le long du contour recliligne x0, x0 -f- aK

peut être remplacée par deux parallèles à K/^ — i de longueur infinie, menées Tune par x0 cl l'autre par j0 + 2K au-dessous do Taxe des x, et par une parallèle à Taxe des x, menée à l'infini. Le long de ce nouveau contour, l'intégrale sera nulle; mais il faudra lui

ajouter les résidus relatifs aux points — K/y/ — i,

— SK'y/ — i, — SK'sj — i, . . . , multipliés par 27r^ — i. De plus, ces résidus seront pris dans le sens rétrograde.

( 586 ) Calculons le résidu relatif au point

il est égal à

* + (*„ + iHC'v'— i -2?£p±[-{*n + i)KW— ) hni - — — e *K ;

/•sn(ar-hKV— 0 mais, si/x étant égal à i pour ï = oou 27rK/^ — i, cette quantité peut s'écrire

w îiH-l I __m

On a donc

et Ton a

par conséquent

lrn -»-l

- 2Kt/ — 1 .

2A'kl — (/~H+l

Quand m est négatif, on a

' snz<? *K </s = — | snzdzc *K ". o «/o

Les coefficients des termes également distants de l'originc sont donc égaux, et, en les groupant, on a

* \!*l V^ <7""M • ( 2 ;/î-f- 1 ) 7r.r snx = -~ > TT sin j— ?

^ cos —

dn* = Âid ' + 4 i 7— - cos ~"^ '"

(5«7) À ces formules il convient de joindre les suivantes, auxquelles on parvient d'une façon toute semblable :

9' ( .v ) 2 it ^ qm . ffiirx