SUR LE PTIOBLEME DE LA TRANSFORMATION
Le problème de la transformation a pour but la comparaison des fonctions elliptiques correspondant à des modules différents. Exposons, d'abord, la théorie que Jacobi donne dans son ouvrage intitulé : Fundamenta nova ihcoriœ funrtionum ellipticarum.
Si dans l'expression
y/A -h il.r 4- Car3 -h Dx3 -+- t^4
on ^ose x = - » U et V désignant des polynômes entiers en^, on aura
V'A + B.r+Cj3 -h Di* -h Ex*
*I; { VdU — VffV
\/AV4 -h BVaU ■+- CVU' -4- DVU3 4- EU'
et Ton peut, d'une infinité de manières, déterminer U et V, de telle sorte que le second membre de cette formule soit de la forme
dy
V'A' 4- lO -*- Cj* + D'j* 4- E'r1
(58g) En effet, pour que dans le second membre de (4) le polynôme sous le radical se ramène au quatrième degré, il faul que ce polynôme, qui est d'un degré quadruple de celui de U et V, ne contienne que des facteurs doubles, à l'exception de quatre qui seront simples; on aqra donc, en appelant T un polynôme entier,
AV4-hBV8U -f- . .. -t-EU4
le second membre de (i) se réduira alors à la forme demandée si Ton a
(a) — = const.
Or, il en est ainsi quand U et V sont de même degré ou de degrés différents d'une imité. Soit eu effet
A -f- Bx h- Cx* -h Dj:3 -f- Ex*
= E(* — a)(*-P)(« — 7)(*-5)f et par suite
AV« -4- BV3U ■+■ CV'U» -f- DVU" -f- EU4
= E(U— aV)(U — pV)(U-7V;(U-^V).
Les facteurs (U — «V), (U — (2V), ... sont premiers entre eux, car tout diviseur simple de U — aV et de U — pV, par exemple, sera diviseur simple de U et V, et, comme on peut supposer U et V premiers entre eux, les facteurs U — aV, ... le seront aussi. Or on a identiquement
— a(Vrfl) — UrfV) = (U — aV)</U — U'/(U — aV);
il en résulte que tout facteur double de U — a\ est facteur de VrfU — Ur/V, car ce facteur appartient à la
dérivée -7- (U — a V ).
ily x '
( 59o) En résumé, le polynôme AV*-f- BV8U -f- . . . jouit de cette propriété que ses facteurs doubles sont aussi facteurs doubles de U — «V,dcU — /3V, de U — yV ou de U — #V, puisque ces polynômes ne peuvent avoir de facteur commun, et, par suite, ses facteurs doubles divisent UrfV — V//U. Si donc on suppose tous les facteurs de AV* -+- BV'U -h . . . doubles, à l'exception de quatre d'entre eux, le polynôme T divisera
VaU - UrfV.
Si alors on suppose que V et U soient de même degré p, ou l'un de degré p et l'autre de degré p — i , AV4 •+-. . . sera de degré 4p* T1 de degré 4p — 4 et T de degré a/> — a;
est évidemment de même degré, et, par suite, la formule (a) est satisfaite.
On pourra donc effectuer la transformation d'une infinité de manières, car on pourra d'une infinité de manières déterminer les coefficients de U et V, de telle sorte que AV* -f- BV8U ... ait tous ses facteurs doubles à l'exception de quatre d'entre eux, U et V étant de degrés différents de zéro ou de i.
Le degré de la transformation est le degré de celui des polynômes U, V qui possède le degré le plus élevé.
