TRANSFORMATION DU DEUXIÈME DEGRÉ
Nous n'avons pas à parler de la transformation du premier degré j on a vu que non-seulement elle réussissait toujours, mais encore qu'elle servait à la réduction a la forme canonique.
Si Ton veut opérer la transformation du second degré, deux des facteurs V — aU, V — {3U, ... devrout être
(59i ) des carrés parfaits, on devra donc poser
U — aV = (m y -h m')\ U — fV = [ny -*- n')\
On en conclut
U — aV __ (m r-f- ;/?')'
ou bien, en observant que - =ar,
x — a (wj -h m')2
On pourra ensuite déterminer m, /w', /i, n' de manière à donner à la nouvelle intégrale la forme canonique, mais nous n'effectuerons pas le calcul en disant toutefois qu il existe deux solutions à la question.
MÉTHODE d'âBEL.
Supposons que Ton désire calculer toutes les valeurs de y rationnelles par rapport à x, et telles que
Si l'on pose
P et Q désignant des fonctions entières de degré p, à chaque valeur de ^correspondront p valeurs de x, et si Ton désigne par xt etx2 deux d'entre elles, on aura
tfxx ± d.r7
Si l'on égale à du les deux membres de la formule
( 59* ) précédente, on aura, si l'on veut,
xx =z sn u ,
x, = sn(xdza),
a désignant une constante; on peut se borner à considérer le signe -f-, car sn(a — u) = sii(aK -f- u — a) et aK — a est une constante. Ainsi, l'une des racines
P de l'équation y = - étant représentée par snu, les autres
p seront de la forme sn (u -h a ). Si donc on pose - = '|(x),
identiquement, et, comme on a aussi j' ~ ^( snu -H a), il faut eu conclure
tylsnu) =i|;(sn« -f-a)=i|i(sn*«H-2a;. . . ', par suite, les racines dey = ^(x) sont
SI) a, sn« -4- a, sn«4-2a, srwz-f-3a, ...;
mais les racines de l'équation en question sont en nombre limité au plus égal à p: il est facile d'en conclure que les ^ valeurs de x se décomposent en cycles
sna, sn (a 4- a), .., sn^u -t-/i~ iaj, sn«', sn(a'-t-a), . , sn'.«'-t-/i — iaj,
n désignant un sous-multiple de p.. Si fx est un nombre premier, les cycles se réduiront à un seul. Nous examinerons eu particulier le cas où [A est un nombre premier impair. Les solutions dej = '^(x) sont alors
sn / , sn [a -+- a ] , . . , , sn [u -t- y. — la); maris, sn(a -f-jxa) étant égal à sn u, il faut que /*a soit
( 593 ) une période ; donc
a = - (4K/ÏI -f- aK'it^— 7).
Mais l'équation^ = ty(x) est de la forme
(A^ — Bvj)x^-\- ... -H- A# — B0/ = o; on en déduit, pour le produit des racines,
Atf — B.r
et pour / une expression de la forme
a! -h aar.yXi . . jr^
b' -\- bxtX2 . . . Xp On peut simplifier celte expression ; on a en effet
xt =sn(a-|-i — ia),
jrji j z= sn(« -+- f*a — * — i a) = sn ( u — i — la),
car (in est une période, et, en faisant usage d'une formule connue,
sn*« — sn'(i — i)a
•r-^-'= ,— ^sn2«sn'(/- i)J on a donc
sn//(sn*a — sn7«)(sn5« — sn1?»). . . (sn'rt — sn' - a)
( i — £'sn « sn x ) . • . ( i — A- sn u sn a )
Le produit xt Jt.. .x^ est ainsi exprimé à l'aide de la seule racine X\ = sn u. Alors/ prend la forme
£' -f- Af (x, ) Stdrm. — ^ji., If. 38
TRANSFORMATION DE LANDEH.
Considérons un demi-cercle tracé sur AB=2R comme diamètre ; soient O son centre, P un point fixe pris sur AB, M un point variable de la circonférence, soient OP = a, MPO =tp, MAO = cj>. Supposons que le
point M se déplace infiniment peu et posons MM' nous aurons
ds sinM'PM
MP sin P M' M
Oi
ds— 2R</?, MP= V/RJ +a' + 2flRcos2?, M' PM =<*!>,
et MM'P est égal à - plus l'angle que OM fait avec MP ou PMO} (1) devient alors
2 R dy city
^Rï-h«a-i-2flHcos2y cosPMO
Si l'on observe alors que
JU
siiiïj/ sinPMO
RsinPMO = flsin + t R^cos'PMO = R» — «*sin^f
(595) la formule (a) deviendra
2 flo rAÏ»
V^R2 4-flJ-t- 2<zRC0S2y )/hi—a7Sllï'b
ou bien
V^(R +af- 4/iRsin2^ ~~ v/R' — «asin2^
on enfin
2R rf* <A|p
Posons
13) Vw^?='- *='••
et nous aurons
R-+-" y/i —A'sin'y y7' — *îsîn»-> Le triangle PMO donne d'ailleurs
a sin(2« — ^)
Ï7 = Ai = i-r-t ^
R siny
d'où
i — kx sin ^ — sin ( 2 <p — ty )
