kx sin ^ 4- sin ( 2 ? — ^ ) ou bien

(5) y~~ *» = tal>g (*—*)■

' 1+*, tangç 5

d'ailleurs les équations (3) donnent

et la formule (4) devient

(,j [' 2 rfy = r * ^

4/0 *-r-*i ^i — À'sin'f t/o ^/i — X-J ain*i

( W ) Voici comment on fera usage Je ces formules : supposons que Ton veuille calculer

dty

o ^i — X? sin'^

on calculera à l'aide de (6) un nouveau module #, et à l'aide de la substitution (5) (que Ton n'aura pas besoin d'effectuer réellement si Ton n'a pas besoin de faire un calcul numérique), on convertira l'intégrale proposée en une autre de module A-, donné par la formule (6). Il est facile de prouver que A<#iS en répétant alors la substitution, on peut ainsi obtenir ce que Ton appelle une échelle de modules de plus en plus voisins de un ; on pourra donc développer l'intégrale suivant les puissances de i — Zr, et Ton aura une série très-convergente. Je dis, en effet, que k <[ kx : c'est ce que prouve la

formule (6), car la moyenne arithmétique de i

Jm

et kt est moindre que leur moyenne géométrique ykl : ainsi k <[£«; donc on finira par rendre ft<i. Supposons déjà />t <[ i, on a

donc r^V^î^^ii a*ns* *^>^1' ma*s ^-<Os

donc, etc.

On peut donc aussi se donner k et calculer kt -, si alors test moindre que l'unité, on aura kt<^k9 et Ton obtiendra des modules tendant vers zéro-, quand k sera très-petit, l'intégrale elliptique développée suivant les puissances de k sera rapidement convergente*

Il est facile de voir que, si Ton pose

& = sinO,

on aura

A,= tang*-9

tang(i}> — <p) = co$ôtangf, ce qui simplifie le calcul logarithmique.