SUR LES APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

Nous avons vu que toute intégrale d'une fonction rationnelle de x et d'un radical tel que

\/ax* -+- b.vs -+- ex2 -f- dx -i- e

se ramenait à trois types simples ne renfermant plus que le radical

v/Âjfi -+- nixÀ) ( i -±~m'x2).

Ce radical, dans lequel A, m, ni peuvent être supposas réels, comme on Ta vu, si a, b, c, d, e le sont euxmêmes, peut se ramener au suivant :

en faisant sortir A de dessous le radical et en posant

mx* = — z% et = A'1 ; mais alors k n'est pas néces-

sairement réel. Je me propose maintenant de montrer que Ton peut toujours supposer À* réel et compris entre zéro et i, ce qui simplifiera évidemment la construction des Tables des fonctions elliptiques.

D'abord, on peut toujours supposer A = db i en faisant sortir sa valeur absolue de dessous le radical; enfin,

on peut supposer 77ï = dt i, en posant Xy///ï= z, si m

est positif, et x y7 — m = -z, si z est négatif. Ainsi nous pourrons toujours supposer rn = zhi et 7tj' = dz À1. Cela

posé, on a vu et Ton vérifie très -facilement que, en posant A" = i — À*,

(i) Si *=sn.r, on a — = \/(i — *')(i — A*z*)y

1 dz

snx dx

(3! z = dnx, *=l'y/«(I^)^I i.^

I dz

(5) « = tnx, -?•= V(iî-»-*,)(n-Xf,*,)t

(7) s = en«, ^=X.'y/(I I.)^,+ il^,

rf« / . ., / *"

Dans ces formules, on peut constater que le radical est partout de la forme

et que Ton y rencontre toutes les combinaisons possibles des signes avec toutes les valeurs réelles et positives de Â-J, en supposant k\ < 1, trois combinaisons exceptées, à savoir

mais la première est impossible si le radical doit être réel, et les deux autres rentrent dans les formes (7) et

(8) par le changement de p z en z ou de -p z en z. Nous

n'en parlerons donc pas.

II résulte de là que toutes les équations de la forme

s'intégreront par les fonctions elliptiques, et que toute intégrale de la forme

fF[z9 y/±z (i H- mz') (i h- wV)]<fc se ramènera à la forme

où l'on aura

Montrons sur un exemple la marche à suivre pour opérer celle réduction. Supposons qu'il s'agisse de l'intégrale

__ r dz #

en posant hx z = £, on aura

V(I-Ki+^W

On posera [*>o*r formule (7)] d'où

TTT[<:>

( 6oo ) et l'on aura

On en conclut que Ç est égal à en ( — u -h const.j, i

par suile que

y7 1 — Ç* = sn f — « -4- const. ) .

Si donc on pose

z sera le sinus amplitude d'un multiple de u, et l'intégrale u sera ramenée à la forme voulue

__^ Ç de,

La méthode de réduction que nous venons d'indiquer a, sur celles que Ton enseigne, l'avantage d'être purement analytique; elle se retrouve facilement; si Ton n'indique pas la marche qui conduit aux substitutions à effectuer, on peut hésiter longtemps avant de les retrouver. D'ailleurs, notre méthode a l'avantage de donner immédiatement z exprimé en fonction de u au moyen des fonctions 6ii9 en, dn.

Voici d'ailleurs les substitutions à eilectuer dans les différents cas pour réduire l'intégrale

a la forme

//[«, V/(i-*,)(i-^"ir)]^ ou *<i* d'après MM. Briot et Bouquet, ire édition, p. 194*

(6oi ) i° A positif, m = — A*, m' = — A'% A > A', on pose

2° A positif, m = — A1, m' = A",

3° A positif, m = A% m' = A'», A > .7,

hx •=: • __ „- •

v'i — z3 4° A négatif, m = — A1, m' = A'1,

5fJ A uégatif, m = — A1, ni = — A", A > A',

Quand on a ramené le radical à la forme voulue, il reste encore à calculer les quantités que Ton a désignées par K et K/ et dont dépendent les périodes. A cet cflel,

on calcule d'abord la quantité q = e K; on part pour cela de la formule

Si Ton fait x = o, on a

/T7 efo) i — iq -f- 2<74— 2<79 — . .

0,^0) I + iq ■+■ 2^r* ■+- 2^-r. . .

On pourra résoudre cette équation par la méthode du retour des suites. Quand on connaît ç, K se calcule facilement, et, en effet, on a

sn x i H (**}

( 6o2 ) et, pour x = o,

I=sJLffl.

En faisant, dans l'expression de sn,r, je = K, snjr de* vient égal à i , et Ton a

donc

*~" H(K)0(oj°

Remplaçons H'(o) = lim 5^ pour x = o, 0(K), H(K)

aurons

2R__ (i — 72)a(i — y4)a... (i+y)}(i + tf...

2j£ (1-7') (1-7M ■ • • ii±?[(L±?l)j-JL

C'est précisément la valeur de Gt (o).

On a donc finalement

d'où Ton conclut K.

Mais il est clair que Ton pourra aussi calculer K et K' par les formules

en les développant en série. Si k est voisin de l'unité, K sera donné par une série peu convergente; mais K' sera alors donné par une série très- convergente. Pour augmenter la convergence des séries, on pourra employer la transformation de Landen.

Le développement en série de K, par exemple, se fera comme il suit :