FONDAMENTALES

Dans les applications du Calcul intégral, les fonctions trigonomélriques se présentent sous leurs formes inverses quand on ne les introduit pas directement dans le calcul sous leur forme normale. Il faudra donc nous attendre à rencontrer par analogie les intégrales elliptiques avant les fondions directes : aussi allons-nous revenir un instant sur ces fonctions inverses.

Nous avons posé

•/o y 1 — A'sin'y et de là nous tirons

sin<j>r=snF, « = araF>

( 608 ) Nous poserons encore, avec Legendre,

(2) I dy ^1 - AJsina? = E(?) = E (y, k).

La fonction (1) est l'intégrale de première espèce, l'intégrale E(y) est l'intégrale de seconde espèce de Legendre : elle diiïère de celle de Jacobi. On a

•/o V1 — A-'sinay Jo yi — a-' sin2y

La seconde intégrale est celle de Jacobi, qui se réduit

sn*xdx quand 011 fait sincp = sinanix;

nous la désignerons par J(ç), de sorte que J(am a:) = Z(.r); nous aurons alors

La fonction elliptique de seconde espèce E(<p) représente un arc d'ellipse dont les coordonnées seraient

x =z a$\n<f, y = bcosy'y

<f est alors le complément de l'anomalie excentrique, et Ton trouve

/ «' — O2 ds = adfi/ 1 - — si"2?»

et, par suite, en prenant a pour unité, et en faisant 1 — b* = A1,

ds = dy y7 1 — A1 sin'çp;

on a donc

ce qu'il fallait prouver.

(6og) Si, pour évaluer l'arc d'hyperbole, on posait

ou trouverait

Par une suite de transformations, on finirait par ramener cette expression aux fonctions elliptiques, mais il est plus simple de suivre une autre voie pour évaluer Tare d'hyperbole; nous prendrons l'équation de cette courbe sous la forme

ou

Si l'on forme l'élément d'arc ds = sjdx* H- dy* , on trouve

ûa

ce que l'on peut écrire, en posant d'abord - = x\

ds = — ^

(, + i±ÈLy.y^

après quoi, conformément aux règles que nous avons données pour la réduction des fonctions elliptiques, nous poserons

nl -f- O2 , .r"

Stlrm. — An., II. 39

(6io) nous aurons alors

dx" à*

. ds= — » — -^

Posons

*• Ginm

a2-hb

et nous aurons

ds=z

^i — X-'sin'f cosït Nous poserons

Tare d'hyperbole sera donc représenté par aT (<f) et simplement parT(cf), quand a sera Tunilé. La suite des transformations que nous venons d'effectuer revient h faire

, / ' J/=.sin<P| y i — X2 cosy

ar = fla/ = a\J\ — kl tangy , a A ^i — ^2sin,9

COMPARAISON DES ARCS d'eLLIPSE ET D'flYPERBOLE.

Nous continuerons dans ce paragraphe le numérotage de formules employé dans le précédent et nous prouverons d'abord que la fonction T se ramène à E et à F (il est bon de remarquer que T est un cas particulier de

(6.. ) l'intégrale de troisième espèce); on a

Jo cos7«v » — * su

Si l'on observe alors que

<*tangn/i *'siii'ï= <M — —: = - 7=^~ -r=+ )

r (i — /M X» X-»sin'y1

Lcos'<pV tf \/ J'

on aura, en intégrant et en ayant égard a (i), (2), (3),

(5) tangW» ~ A'sin2? = *(*) -*- (** — 0 F(?) — E(9) :

la fonction T (<f) se ramène donc à F(<p) et à E(y).

Mais on peut aller plus loin, et exprimer T (y) au moyen de deux fonctions E d'amplitude et de modules différents. Ce théorème sera démontré si l'on prouve que F (<f) peut être évalué en fonction de deux fonctions E$ ce théorème célèbre, en vertu duquel un arc d'hyperbole peut être mesuré par deux arcs d'ellipse, est dû à Landen et porte son nom.

Or la transformation de Landen permet d'écrire

^1 — Xfsin2?i 2 ^1 — Z^sin'f

et la relation qui en résulte pour les angles <p et <f t peut s'écrire

(7) sina?, = -(1 + XsinJ? — cosy y'i — X'sin'y);

d'ailleurs,