SUR L'AUDITION DES INTÉGRALES DE PREMIÈRE ESPECE
Les questions traitées ci-dessus, quoique se rattachant à la théorie des fonctions elliptiques, pourraient se traiter sans avoir aucune notion de ces fonctions; il était bon de les signaler, parce qu'elles ont fait naître des recherches ultérieures et ont été le point de départ de la théorie: on saitqu'Euler avait deviné l'intégrale algébrique de l'équation d'où dépend le théorème de l'addition des fonctions snx, cn:r, dnx. Il convient de faire connaître ici une méthode géométrique due à Lagrange, qui a dû contribuer pour sa part à faciliter les premières recherches.
Soient cp, ^, fx les côtés d'un triangle spliérique et C l'angle opposé à jjl; posons
"sin'C
; = /' COSC = ±i/l — /-"Mil2».
sin'p ' y l
Supposons actuellement que l'on fasse varier çp et $ en laissant (x constant, ainsi que l'angle C, nous aurons
(i) cosu = cos<pcos^ dz sin^sin^ 1 — A-2sin'p;
mais, le côté (i variant seulement de position, ses extrémités décrivent sur les côtés <p et <pdes éléments dy et cty dont les projections sur [jl doivent être égales. Eu effet, soient A A' et BB' les positions voisines du côté //, si du point O où se croisent ces positions, comme pôle, on décrit les arcs BC, A'C, comme OB = OC, A'O = C'O, il faut bien que AC = B'C Or
AC = tif cos(<p, y.), B'C' = cty cos(t|>, p): donc
<'? COs(y, y) = dty COS(rj/, p)f
ou
mais
v/i — sina (y, p) = d^fi — sinJ(^, p) ; sin(y, u) sinC ,
sin ^ sin p.
sin(f, ;*) = /• sin^.
La formule précédente donne alors
(2) d<f)/i — ÀHin1ty=±d^^i — A'siii''?.
La formule (1) est donc l'intégrale de celle-ci, py est constant; si Ton fait alors <fr = o, on a /jl = <p. Si l'on écrit (2) ainsi
y7! — A-'sin-'f \ 1 — X'SUVf
OU
F(p) désignant la constante, f* se réduira à <p pourtf = ot
vt (i) sera équivalente à la relation transcendante (4);
la formule (i) devant avoir lieu pour [i = o et y = — <|>,
il faudra alors prendre le signe — devant le radical. Que
Ion fasse <f = ama, «Ji= ain&, p = am(a+-t), on aura
alors
en (a -+• b) z= en a en b — snasnbdn(a -4- b).
Cette équation, combinée avec les suivantes :
ena = ^/ 1 — tira.
drifl = y/ 1 — X-'sn'a i
fera connaître cn(«-t- A), dn(a 4- i) et sn[a -+- b) : on retrouve ainsi les formules fondamentales de l'addition des fonctions elliptiques. On peut retrouver ces formules en cherchant les lignes de courbure des surfaces du second ordre : c'est ce que nous allons voir.
LIGNES DE COURBURE DE l'hYPERBOLOÏDB.
On peut considérer les lignes de courbure de l'hyperboloïde gauche comme les lignes bissectrices des génératrices. Or les génératrices ont pour équations
- - — - cos» -h sin©, - = - sin^ — cnsJ», a c ' ' a c
T — - sin © — ces*, V = - costIi •+- sin \L. oc1 T b c
Les paramètres ç et ^ servent à caractériser une génératrice; en les prenant pour variables, les équations différentielles des lignes de courbure prennent la forme
( «'5 ) équations dans lesquelles on a
dx\*
/dy\* /dz\* en effectuant les calculs, on trouve
/i — X;2sin2<J/rf<p = dt /i — À'3sin*cptity,
rfo
dty
\J i — k'1 sin2 çp ~~ y/ 1 — ^2 sin2 ^
d'où Ton conclut l'équation des lignes de courbure sous forme finie. 11 est assez curieux que Ton puisse ramener ainsi aux fonctions elliptiques la solution d'un problème résolu par une tout autre voie.
