MP
or, à la limite, le point M vient sur le cercle r au point de contact de PQ, et Ton a
MPa= ÏÏV7 — r* = Ra -f- d* — r* -+- iRa cosï> j, SÏq'i^Ô'Q' — r* = R7-+-a*— r8 -h-aRa cosa$: on a donc
dy / Ra -h a% — r* -h 2 tf Reos 2<p
<fy y R2 -f- aj — #■* -h laRcasi-fy
__ /iRr+^j^^^^âR^in7?^
"" y (R + *)* — r>— la RsIn'V Si Ton fait
— (R -+-«)> /■'' on a l'équation connue
* ' ' <Ji — X3sin2<p \/i — X^Tin1^ ~"
d'où l'on peut conclure une construction géométrique de son intégrale. Mais on peut en déduire un résultat nouveau.
L'équation précédente devient, en intégrant,
Jr? dy n<p dy
0 \/i — *sin'f Jo ^« — ^2sin2^
v ' j r*p dp.
J0 \/ i — X'sin'f*
(6,7) et {à est la valeur de tp pour <p = o. On voit que (i ne dépend ni de<p ni de <Jr, si donc, à partir du point (f, on mène une seconde tangente QR au cercle intérieur, et
si Ton pose AR = a^, on aura encore, en posant
i— Â*sin'<p = 4>, i — /''sin'^m: V, ..., i— A'sin'f* = M,
**ty
X dx __ r H- d? m
en menant par R une nouvelle tangente RS, on aurait entre Tare 20 = AS et l'arc 2^ une relation analogue:
les iutégrales / -=, /—=>... forment donc une pro-
Jo Vfà J0 V^
Supposons que le polygone PQRST soit fermé et que le point T coïncide avec A, le dernier des aresey, ^, x>*-* sera de la forme 9 -h 2 nit. En ajoutant alors les foi mules, telles que (2) et (3), on a
ou bien
Jfip-+-/iîr r/«? Çp du.
9 1J1 — ifcasin'<p J0 y7" — *2sinV
le premier membre de cette formule ne dépend pas de <p; car on peut prendre pour limite o et niz. Donc :
S1 il existe un polygone de m côtés inscrit dans un cercle et circonscrit à un autre, il existera une infinité de poly gones de m côtés jouissant de la même propriété.
Ce théorème est évidemment projectif et s'applique aux coniques : il a été découvert par Poncelet •, la démonstration précédente est de Jacobi.
ADDITION DES ARCS d'eLLIPSE. — THÉORÈME DE FAGNANO.
Nous avons posé
Z(*)= / À'sn'xdx.
Nous aurons alors
Jr*x r*x -+-y
I kisni{x-hy)dx=z / Xasn'(jr-l-r) dx
ydy
OU
— j A»sn»
f* Vsn>(x + y)dx=:Z[x+y)-Z[j'),
/ k> sn' (* — y ) dx — Z (* — y ) + Z [y).
Retranchons ces formules Tune de l'autre, en ayant égard aux relations
, , , asn.r rnr dnr
8n [x. -f- y) -f- sn (x —7) = — — — — - ,
, . . . 2sn r rn.r tln.r
sn [x -f- r) — sn (x -— y) = - -—;
K J ' K J ] 1 — X' sn'x su1/*
( Ccj ) nous aurons
4** snx sny cn.r en/ dnr dn/
(i — X-1 sn'x sna/)a
= Z(.r+j)-aZ(ir)-Z(*-.y).
La quantité sous le signe / est une dérivée connue, si l'on
observe que 'isux cnx Anx est la dérivée de sn2#, et l'on a
'2sn'.r snv cny dnr . . rwl .
__ï^-^=z(x+/)-.a5(y)-z(,-jr).
Si Ton pose alors
f = amx, ^ = amj, /* = am (a? -+-/), v=am(x — 7), et si l'on observe que Zu devient J(am«), et que
Z(*) = J(?) = F(f)-E(f)f ..., la formule précédente devient
2sin2«p sin\|; cos^ \J 1 — X* sin2^ 1 — X3 sin*? sin'f = F(f*)— aF( + ) — F(v)— E(fA) + aE(4i)-f-E(v);
et comme F(jk) = F(<j>) -hF(^),
asm9© sinù cosW ' -~*J sin'ù ,
si l'on échange y et vj/, f* ne change pas, v se change en — v et le second membre devient — E((x) — E(v) •+- aE(<y). Eu ajoutant alors à cette formule celle que Ton obtient en changeant <f en ^, et vice versa, on trouve [eu égard à la formule qui fait connaître sn (x 4-^)]
E(?) -f- E(\[>) — E(p) = X' sin <j> sin>|; sinp
On obtient le théorème de Fagnano en posant fx = -j
( 6ao )
alors E(fz) est le quart d'ellipse; nous le désignerons par E et nous aurons
(i) f(ï) + E(4p} — E = X-> sin?siinji.
Entre les angles y, <p, p, on a la relation
oosp = cosy cos 4» — siny slnty ^ i — k7 sîn a^« Si alors on fait fz = -» on a
o = cosç cos\|; — sincp sin^ V i — k*
(2) tangç tangr}/ = - ou b tang 7 tang^ = 1.
La formule (1) montre que, si les arcs d'ellipse E(<p) et E — E(^) sont tels qu'ils correspondent à des anomalies y, t|/ satisfaisant h la formule (2), leur différence est reclifîable. Les équations de l'ellipse sont
j? — sinç, /=^i — À"tt>s<p = b cosy.
Si Ton cherche la distance / du point cj> de l'ellipse à la perpendiculaire menée de l'origine sur la tangente, on
trouve
**tang<p * =^ — ■*
^(ft'tang' + i) (1 -Mang'y) En chassant les dénominateurs, on trouve une équation du quatrième degré en tangtp, à savoir
b* lang4? -1- ung'y ( 1 -h h7 — — ) -+- 1 = o»
Soient 9 et ^ les deux solutions de cette équation, on en
déduit
b tangy tang\[> = 1.
L'identité de cette formule avec (2) montre de quelle
façon doivent être construits les angles y et t|>. On voit que les arcs 12 (op) et E — E(tp) auront une différence rectifiante, s'ils sont choisis de telle sorte que les normales menées par leurs extrémités soient à des distances égales du centre de l'ellipse.
SUR LES ATICS DE LEMNISCATE.
La lemniscate est, comme Ton sait, une courbe telle que le produit de ses rayons vecteurs issus de deux points fixes est constant. Son équation en coordonnées polaires est, en prenant pour axe polaire la droite qui joint les points fixes et pour origine le milieu de cette droite,
r4 — 2flar* cos20 H- ak = b*9
ia désignant la distance des points fixes et b une constante.
M. Serret, dans un Mémoire inséré au tome YHIdu Journal de M. Liouvillc, a montré que toute fonction elliptique de première espèce pouvait être représentée par deux arcs de lemniscate. Voici son analyse ;
Soit - < i , la courbe se compose de deux branches
distinctes. On pose — = sin 2^. Soient s\ et a\ les deux
aies de lemniscate, dont les extrémités ont pour angles polaires 09 et6l9 on a
