AIRES DE QUELQUES COURBES

La quadrature d'une courbe du troisième degré ne dépend absolument que des fonctions elliptiques; pour nous en convaincre, plaçons l'origine sur la courbe: l'équation de la courbe sera de la forme

?i» ?s? ?» désignant des polynômes homogènes de degrés 1, 2, 3. On peut l'écrire

et, en posant on a

On en tire

v en appelant alors R la racine d'un polynôme du quairième degré, on voit que x est de la formey(f,R), oùj

désigne une fonction rationnelle; — et y=tx seront

de la même forme, et par suite l'intégrale

fjrd* = fjr%tdt

ne dépendra que des fonctions elliptiques.

Lorsqu'une courbe du quatrième degré a deux points doubles, on peut aussi exprimer son aire au moyen des fondions elliptiques. En effet, au moyen d'une transformation homographique, on peut transporter les deux points doubles à l'infini: soit

l'équation de la courbe ainsi transformée \ on peut supposer que s = o, je = o et z = o,^ = o soient les coordonnées des points doubles. Quand on fera

dans les formules

dï = °' d7 = 0' JT-0'

elles devront être satisfaites ; les dérivées des termes du quatrième degré en x et y devront donc s'annuler pour x = o, ce qui exige que le terme en yk et le terme en xy *

soient nuls; la dérivée -r- étant nulle pour x = o, il faut

az *

que le terme en x1 soit nul également 5 on verrait de même que les termes x*y, et xk ainsi que j"*, disparaissent. L'équation de la courbe prend donc la forme

A-r'r' ■+■ Bx'j -t-Crj3