POINTS DOUBLES
On sait que - (m — i) (/n — 2) est le nombre maxi-
mum de points doubles que puisse posséder une courbe d'ordre m.
Une courbe d'ordre m qui possède - (m — 1) (m — 2)
points doubles est quarrable par les fonctions algébriques et logarithmiques (y compris les 'fonctions circulaires inverses) .
Il suffit de prouver que Yx et Yy de celte courbe sont fonctions rationnelles d'un même paramètre A; pour y
parvenir par les - (m — 1) (m — 2) points doubles D de
la courbe
(0 f(*fjr)=o,
d'ordre m, faisons passer une courbe d'ordre m — 2. Cette courbe est déterminée quand on l'assujettit à passer par
- (m — 2) (f/i-hi) points*, or, elle passe déjà par
- (m — 1) (//* — 2) points D : on peut donc l'assujettir encore à
conditions. Nous l'assujettirons à rencontrer la courbe (1) en m — 3 points fixes que nous appellerons À-, elle contiendra alors dans son équation un paramètre arbi-
Sturm. — An., II. (\0
( 626 ) traire X, et cette équation sera
Mais cette courbe (2) coupe (1) en m (m — 2) points; sur cesm(m — 2) poiuts, les points D comptent pour deux et équivalent à (m — 1) (m — 2) points d'intersection*, si l'on y ajoute les m — 1 f oints A, on voit que
(m — 1) (m — 2) -f- /n — 3=/nî — 2m — 1
points d'intersection des courbes (1) et (2) sont fixes et connus; il n'en reste plus que
qui soient variables. Si Ton forme alors la résultante des équations (1) et (2), toutes les racines x de cette résultante seront connues et indépendantes de X, à l'exception d'une seule que Ton obtiendra par suite à l'aide d'une simple division et qui sera rationnelle en X, Ainsi x et y s'exprimeront rationnellement en fonction de X.
Réciproquement, on peut prouver que, si x et y sont des fonctions rationnelles de X de la forme ti~A j tttt> ?' X» *r* etant de degrés m au plus, xety seront les coordonnées d'une courbe d'ordre m ayant -(m — 1)
[m — 2) points doubles.
Posons, en effet,
z étant introduit ici pour l'homogénéité ainsi que /x (nous supposerons ultérieurement £=1,^ = 1). La courbe représentée par les équations (1) coupera la droite
(2) ax •+- by -f- cz = o
en m points, car les A d'intersection seront donnés par la formule du degré m
"?(AifO H- *X fit?) + '*(*, f») = o.
2 aura m valeurs et par suite xetjr auront m valeurs simultanées.
Comptons maintenant les points d'inflexion j ces points satisfont à l'équation (a) et aux suivantes ;
dj: , ây dz
dx
dX
dX
, dV d'*
or, en vertu du théorème des fonctions homogènes, ( a) ei (3) peuvent s'écrire
ai x
dXdp
la résultante des formules (4), (5), (6 ) donnera les A des points d'inflexion. Or (5) et (6) se simplifient et peuvent s'écrire
d'x dy
d'« Cd7=°'
dXd/x dXdp (1a il a
et la résultante cherchée prend la forme
dÀ'
dJr
El?
dA'
dXdp. dXdp dXdp.
d'jr dV àH
dp' d/** d2f*
Cette équation est manifestement du degré 3(/w — 2); ainsi la courbe considérée possède 3 (m — 2) points d'inflexion. Or une courbe d'ordre m possède normalement Zm ( ni — 2) points d'inflexion ; celle que nous considérons en a donc peidu
Or on sait que les points d'inflexion ne disparaissent que parce qu'ils se trouvent remplacés pardes points singuliers. Chaque point double faisant disparaître six
points d inflexion, on en conclut que &
ou - [m — 1 ) [m — 2) points doubles se sont attachés à
la couibe. c. q. f. d.
Il faut bien remarquer que dans notre raisonnement nous avons tenu compte des points situés à l'infini, ce qui résulte de l'emploi des coordonnées homogènes. En second lieu, nous n'avons, en fait de points singuliers, considéré que des points doubles, mais il est clair que nos énoncés devront être corrigés si les points singuliers, au lieu d'être des points doubles, devenaient points triples ou seulement points de rebrousseraient.
Les théorèmes précédents sont dus à M. Clebsch qui les a établis, mais moins simplement, dans le Journal de Crelle (t. 64, p. 43).
SUR LES COURBES D'ORDRE m POSSÉDANT - m (/7l 3)
